微分とは? わかりやすく解説

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び‐ぶん【微分】

読み方:びぶん

[名](スル)

ある関数導関数求めること。

ある関数表される曲線の、ある点における接線傾き、すなわち変化率極限値として求めること。その傾き微分係数といい、関数fx)の導関数f′(x)とすると、xaにおける関数fx)の微分係数f′(a)で表される。ここで微分してf′(x)になる関数fx)を逆の演算として求めることを積分とよび、fx)はf′(x)の不定積分となる。

[補説] これら微分と積分互いに逆の演算であるという関係性微分積分学の基本定理とよばれ、17世紀後半ニュートンライプニッツによって独立して導かれ、やがて解析学という数学一大分野発展した。とくに物理現象多く微分方程式によって記述され、それらを解くことによって時間とともに変化する数量見積もったり、現象予測したりできる。このように、微分は積分とともに現代においてさまざまな現象数学的に記述するための重要な手法となっている。


微分

関数 f(x) で、x の値 a に微分係数(a)対応させるとき、これを f(x)導関数といい、関数(x) で表す。導関数求めることを微分するという。


微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/17 02:38 UTC 版)

数学における実変数函数英語版微分係数微分商または(どうかんすう、: derivative)は、別の量(独立変数)に依存して決まる、ある量(関数の値あるいは従属変数)の変化の度合いを測るものであり、これらを求めることを(びぶん、: differentiationするという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。


注釈

  1. ^ ここでベクトル値関数の極限は、2乗ノルム、絶対値ノルムなど、どんなノルムを用いて定めても同じことである。
  2. ^ アーボガストが導入したのは変数記号を伴わない Df のような記法だった[4]。その後、多変数関数の微分を扱うために変数記号を付した Dxf のような記法がド・モルガンコーシーにより用いられるようになった[5][6]

出典

  1. ^ 本項に述べる微分法は多くの情報源を持つ非常によく確立された数学の分野である。本項に書かれているような内容の大半は Apostol 1967, Apostol 1969, Spivak 1994 に含まれる。
  2. ^ Banach 1931.
  3. ^ Apostol 1967, §4.18.
  4. ^ a b Cajori 1923.
  5. ^ de Morgan 1836, pp. 267–268.
  6. ^ Cauchy 1840, p. 5.



微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/02 01:23 UTC 版)

直交曲線座標」の記事における「微分」の解説

ある点からの無限小変位見てみると、明らかに以下が成り立つ d r = ∑ i ∂ r ∂ q i d q i = ∑ i e i d q i {\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}} 定義によれば関数勾配は以下を満たさなければならない(この定義はƒが任意のテンソルであっても真である)。 d f = ∇ f ⋅ d rd f = ∇ f ⋅ ∑ i e i d q i {\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}} 従って、ナブラ演算子は必ず、以下を満たさねばならないことになる。 ∇ = ∑ i e i ∂ ∂ q i {\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} これは、これは直交曲線座標限らない一般的な曲線座標場合にも当てはまる。勾配ラプラシアンのような演算子は、この演算子適切に適用することで得られるのである

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/10/01 03:13 UTC 版)

グランドポテンシャル」の記事における「微分」の解説

グランドポテンシャル J ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )} の全微分d J ( T , V , μ ) = − S ( T , V , μ ) d T − p ( T , V , μ ) d V − N ( T , V , μ ) d μ {\displaystyle dJ(T,V,\mu )=-S(T,V,\mu )dT-p(T,V,\mu )dV-N(T,V,\mu )d\mu } となる。ここで S {\displaystyle S} はエントロピー、 p {\displaystyle p} は圧力、 N {\displaystyle N} は物質量である。 従って、偏微分は S ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ T ) V , μ {\displaystyle S(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial T}}\right)_{V,\mu }} p ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ V ) T , μ {\displaystyle p(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial V}}\right)_{T,\mu }} N ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ μ ) T , V {\displaystyle N(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial \mu }}\right)_{T,V}} となる。 系のスケール変換考えると J = − p V {\displaystyle J=-pV} の関係が得られる

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/11/15 14:26 UTC 版)

時間尺度微分積分学」の記事における「微分」の解説

時間尺度上の函数 f : T → R {\textstyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} } をとる(ここでは簡単のため終域実数直線 ℝ としたが、これは任意のバナッハ空間でよい)。 定義 (デルタ微分/ヒルゲル微分) f のデルタ微分が存在するとは、任意の ε > 0 に対し t の適当な近傍 U を選べば | f ( σ ( t ) ) − f ( s ) − f Δ ( t ) ( σ ( t ) − s ) | ≤ ε | σ ( t ) − s | ( ∀ s ∈ U ) {\displaystyle |f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leq \varepsilon |\sigma (t)-s|\qquad (\forall s\in U)} とできるときに言う。 𝕋 = ℝ と取ればσ(t) = t かつ μ(t) = 0 であり、fΔ = f′ は通常の微分積分学用いられる微分となる。 𝕋 = ℤ(整数全体)と取ればσ(t) = t + 1 かつ μ(t) = 1 であり、fΔ = Δf は和分差分学用いられる前進差分となる。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/02 16:11 UTC 版)

微分法」の記事における「微分」の解説

詳細は「微分」を参照 x および y は実数で、y は x の函数、すなわち各 x の値に対して対応する y の値がひとつ存在する仮定する。この関係を y = f(x) と書くことができる。f(x)直線対す等式線型方程式)ならば二つ実数 m および b が存在して y = mx + b成り立つ。この「傾き・切片標準形」において m は傾き呼ばれ差分商 m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}} によって決定することができる。ここに記号 Δ(ギリシャ文字大文字デルタ)は変化増分を表す。従って Δy = m Δx。 直線でない一般函数では、傾き持たないことが起こる。幾何学的には、点 x = a における f の微分係数とは函数 f の点 a における接線傾きのことをいい、上記差分商極限微分商)に等しい。これはしばしラグランジュの記法に従って f'(a), あるいはライプニッツの記法に従って dy/dx|x=a と書かれる。微分商は f の a における線型近似傾きであるから、この微分商(と a における f の値)は点 a の近くで f の最適線型近似あるいは線型化決定する。 f の定義域各点 a において微分商存在するならば、各点 a を f の a における微分商へ写す函数導函数)が存在する例えば、f(x) = x2 とすれば導函数は f'(x) = dy/dx = 2x である。 これと近しい関係の概念として、函数の微分がある。接点 (a, f(a)) を原点として、各軸に平行な座標軸 dx, dy を持つ局所座標系考えるとき、この座標系において原点通り傾き dy/dx|x=a直線(すなわち、もとの座標系でみれば f の a における接線)は dy = dy/dx|x=a dx表される。これは x = a における増分 Δy = Δy/Δx|x=a Δx の線型化線型主要部であり、dy は f の a における微分と呼ばれる。 x および y が実変数のときは f の x における微分商は f のグラフの x における接線傾きであり、f の始域終域一次元であるから、f の微分商実数として与えられるが、x および y がベクトル変数のとき、f のグラフ最適線型近似は f が一度複数方向どれほど変化するかに依存する一つ方向に関する最適線型近似をとることは偏微分係数通常、∂y/∂x と書かれる)を決定する一度すべての方向への f の線型化全微分 df という。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/28 07:05 UTC 版)

atan2」の記事における「微分」の解説

詳細は「回転数 (数学)」を参照 関数 atan2 は2変数関数であるため、2つ偏導関数がある。これらの導関数存在する点では、atan2定数項除いた arctan(y/x) に等しくなる。したがって、x > 0 または y ≠ 0 の場合、 ∂ ∂ x atan2 ⁡ ( y , x ) = ∂ ∂ x arctan ⁡ ( y x ) = − y x 2 + y 2 , ∂ ∂ y atan2 ⁡ ( y , x ) = ∂ ∂ y arctan ⁡ ( y x ) = x x 2 + y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial x}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial y}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}} したがってatan2勾配は次式で与えられる。 ∇ atan2 ( y , x ) = ( − y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2 ) . {\displaystyle \nabla {\text{atan2}}(y,x)=\left({-y \over x^{2}+y^{2}},\ {x \over x^{2}+y^{2}}\right).} 関数 atan2角度関数 θ(x, y) = atan2(y, x) (定数除いて定義)として省略して表すと、全微分について次の式が得られる: d θ = ∂ ∂ x atan2 ⁡ ( y , x ) d x + ∂ ∂ y atan2 ⁡ ( y , x ) d y = − y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \theta &={\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} y\\[5pt]&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} y.\end{aligned}}} 関数 atan2 は、負の x 軸沿って不連続であるが、角度連続的に定義できないという事実を反映して、この導関数原点除いて連続的に定義される。これは、角度微小な(そして実際に局所的な変化原点を除くすべての場所で定義できるという事実を反映している。この導関数パス沿って積分するとパス全体角度全体的に変化し、閉ループ積分すると回転数得られる微分幾何学言語では、この導関数1-形式であり、閉である(導関数が0である)が、完全ではない(0-形式導関数、つまり関数ではない)。実際1点除いた平面(Punctured Plane)の1次ド・ラームコホモロジー生成する。これはそのような形式の最も基本的な例であり、微分幾何学基本である。 atan2偏導関数には三角関数含まれていないため、三角関数評価コストがかかる可能性がある多くアプリケーション(例:組み込みシステム)で特に役立つ。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/17 06:18 UTC 版)

超実数」の記事における「微分」の解説

関数 y(x)導関数は .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dydx ではなくdydx標準部として定義される例えば、f (x) = x2 の導関数 f'(x)求めるには、dx無限小超実数として f ′ ( x ) = st ⁡ ( f ( x + d x ) − f ( x ) d x ) = st ⁡ ( x 2 + 2 x ⋅ d x + d x 2 − x 2 d x ) = st ⁡ ( 2 xd x + d x 2 d x ) = st ⁡ ( 2 x + d x ) = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+dx^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x\end{aligned}}} この導関数の定義において標準部をとるのは、無限小量の平方無視するという伝統的な慣習厳密な代替である。上記の式の三行以降ニュートンから19世紀わたって典型的な方法は単に dx2 の項を無視するというものであったが、超実数体系では dx2 ≠ 0 である(超実数体系では dx は非あり、かつ「非実数平方は非である」という主張移行原理適用できるから)。ただし、dx2 という量は、dx比べ無限に小さい (infinitesimally small)。つまり、超実数体系無限小量の無限の階層を含む。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/11 05:15 UTC 版)

双球座標系」の記事における「微分」の解説

双球座標系ヤコビ行列は ∂ ( x , y , z ) ∂ ( σ , τ , ϕ ) = a ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 2 [ ( cos ⁡ σ cosh ⁡ τ − 1 ) cos ⁡ ϕ sin ⁡ σ sinh ⁡ τ cos ⁡ ϕ − ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) sin ⁡ σ cos ⁡ ϕ ( cos ⁡ σ cosh ⁡ τ − 1 ) sin ⁡ ϕ sin ⁡ σ sinh ⁡ τ sin ⁡ ϕ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) sin ⁡ σ sin ⁡ ϕ sin ⁡ σ sinh ⁡ τ − cos ⁡ σ cosh ⁡ τ + 1 0 ] {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\sigma ,\tau ,\phi )}}={\frac {a}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}(\cos \sigma \cosh \tau -1)\cos \phi &\sin \sigma \sinh \tau \cos \phi &-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \cos \phi \\(\cos \sigma \cosh \tau -1)\sin \phi &\sin \sigma \sinh \tau \sin \phi &(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \sin \phi \\\sin \sigma \sinh \tau &-\cos \sigma \cosh \tau +1&0\\\end{bmatrix}}} である。したがって計量テンソルg = a 2 ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 sin 2 ⁡ σ ] {\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\sin ^{2}\sigma \\\end{bmatrix}}} である。これより、微小体積要素d V = d σ d τ d ϕ a 3 sin ⁡ σ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 {\displaystyle dV=d\sigma \,d\tau \,d\phi \,{\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}} となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる: ∇ 2 f = ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 a 2 [ 1 sin ⁡ σ ∂ ∂ σ ( sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ f ∂ σ ) + ∂ ∂ τ ( 1 cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ f ∂ τ ) + 1 sin 2 ⁡ σ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) ∂ 2 f ∂ ϕ 2 ] {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}{a^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]}

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)

円柱座標変換」の記事における「微分」の解説

円柱座標変換偏導関数は、 ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} (2-1-1) ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) = ( − r sin ⁡ ( θ ) r cos ⁡ ( θ ) 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}-r\sin(\theta )\\r\cos(\theta )\\0\\\end{matrix}}\right)} (2-1-2) ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} (2-1-3) である。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。 従って、円柱座標変換の点 (r , θ, ζ) におけるヤコビ行列J Φ(r , θ, ζ) およびヤコビアン det(J Φ(r , θ, ζ)) は以下のようになるヤコビ行列ヤコビアン共に定義域はr -θ-ζ空間全域である。 J Φ ( r , θ , ζ ) = ( cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)} (2-1-4) det ( J Φ ( r , θ , ζ ) ) = | cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1 | = r {\displaystyle \det({{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta ))=\left|{\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|=r} (2-1-5) 従って、円座標のときと同じく特異点ヤコビアンが 0 となる点)は、r = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全てx -y -z 空間上でz 軸に移る。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/05 15:32 UTC 版)

階乗冪」の記事における「微分」の解説

変数 x の下降 n-乗の微分は、 d d x x n _ = x n _ ( H xH x − n ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\underline {n}}={x}^{\underline {n}}(H_{x}-H_{x-n})} である。ただし、 H x {\displaystyle H_{x}} は調和数である。 また変数 x の上昇 n-乗の微分は、 d d x x n ¯ = x n ¯ ( ψ ( x + n ) − ψ ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\overline {n}}={x}^{\overline {n}}(\psi (x+n)-\psi (x))} である。ただし、 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} はディガンマ関数である。 逆に自然数 n の下降 x-乗の冪指数 x を変数とする微分は、 d d x n x _ = n x _ ψ ( n − x + 1 ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\underline {x}}={n}^{\underline {x}}\psi (n-x+1),} 自然数 n の上昇 x-乗の冪指数 x に関する微分は、 d d x n x ¯ = n x ¯ ψ ( n + x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\overline {x}}={n}^{\overline {x}}\psi (n+x)} となる。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/07/04 01:10 UTC 版)

零写像」の記事における「微分」の解説

零函数滑らかな函数、すなわち何回でも連続的微分可能であり、その各階導函数零函数与えられる。すなわち φ ( n ) ( x ) = φ ( x ) ≡ 0 ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle \varphi ^{(n)}(x)=\varphi (x)\equiv 0\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} が成り立つ。指数函数除けばこのような性質を持つ函数零函数に限る。 零函数自体は、定数函数導函数として、あるいは一般に n-次多項式函数の (n + 1)-階導函数として得ることができる。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/22 06:06 UTC 版)

一様収束」の記事における「微分」の解説

区間 S 上の関数fn微分可能関数 f に収束するとき、f の導関数関数fn導関数極限として得たい。ところが、これは一般に不可能である。たとえ収束一様であったとしても、極限関数微分可能とは限らない。さらに微分可能であったとしても、極限関数の微分関数列の微分の極限一致するとも限らない例えf n ( x ) = 1 n sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle f_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\sin(nx)} は一様極限が 0 であるが、その微分は 0 に収束しない。関数列の極限関数列の微分の極限の関係を保証するには、関数列の微分の一様収束加えて少なくとも一点での収束が必要となる。厳密な主張次のうになる定理 区間 [a, b] 上で微分可能な関数fn対し区間 [a, b] 上のある点 x0 において fn(x0) は収束し関数列 (fn′) は区間 [a, b] 上で一様収束すると仮定する。このとき関数fn関数 f に一様収束し、x ∈ [a, b] に対して f ′ ( x ) = lim n → ∞ f n( x ) {\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }{f_{n}}'(x)} が成り立つ。

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)

行列式」の記事における「微分」の解説

行列式多項式であり、微分が可能である。余因子展開の式から、A の行列式 det(A) の微分として次の関係が成り立つ。 ∂ det ( A )a i j = Δ i j {\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial a_{ij}}}=\Delta _{ij}} d det ( A ) = ∑ i , j = 1 n Δ i j d a i j = t r ( A ~ d A ) = det ( A ) t r ( A − 1 d A ) {\displaystyle d\det(A)=\textstyle \sum \limits _{i,j=1}^{n}\Delta _{ij}da_{ij}=\mathrm {tr} ({\tilde {A}}dA)=\det(A)\,\mathrm {tr} (A^{-1}\,dA)}

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微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/11 13:49 UTC 版)

指数関数」の記事における「微分」の解説

底がネイピア数 e、すなわち lim h → 0 e h − 1 h = 1 {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1} である指数関数 ex導関数ex 自身となる。 d d x e x = lim h → 0 e x + h − e x h = e x lim h → 0 e h − 1 h = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,e^{x}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}} 解析学においてはこの性質満たす関数として指数関数定義する。つまり、指数関数 exp(x) とは、 exp ⁡ ( 0 ) = 1 {\displaystyle \exp(0)=1} ( d / d x − 1 ) exp( x ) = 0 {\displaystyle (d/dx-1)\exp(x)=0} を満たす関数のことである。この関数代数的な定義で示される性質満たし両者一致することが示される一般指数関数 ax導関数自然対数 ln用いて合成関数微分公式より、 d d x a x = d d x e x lna = d ( x ln ⁡ a ) d x d e x lna d ( x ln ⁡ a ) = ( ln ⁡ a ) a x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\ln a}={\frac {{d}(x\ln a)}{{d}x}}{\frac {{d}{e}^{x\ln a}}{{d}(x\ln a)}}=(\ln a)a^{x}} となる。a = e とすれば lne = 1 なので最初の公式に戻る。

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微分

出典:『Wiktionary』 (2021/11/27 01:08 UTC 版)

名詞

 びぶん

  1. ある関数導関数求めること。
  2. ある関数y=f(x)において、xの微小変化対するyの変化割合

発音(?)

び↗ぶん

対義語

関連語

翻訳

動詞

活用

サ行変格活用
微分-する

「微分」の例文・使い方・用例・文例

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