微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 01:23 UTC 版)
ある点からの無限小の変位を見てみると、明らかに以下が成り立つ d r = ∑ i ∂ r ∂ q i d q i = ∑ i e i d q i {\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}} 定義によれば、関数の勾配は以下を満たさなければならない（この定義はƒが任意のテンソルであっても真である）。 d f = ∇ f ⋅ d r ⇒ d f = ∇ f ⋅ ∑ i e i d q i {\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}} 従って、ナブラ演算子は必ず、以下を満たさねばならないことになる。 ∇ = ∑ i e i ∂ ∂ q i {\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} これは、これは直交曲線座標に限らない一般的な曲線座標の場合にも当てはまる。勾配やラプラシアンのような演算子は、この演算子を適切に適用することで得られるものである。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/01 03:13 UTC 版)
「グランドポテンシャル」の記事における「微分」の解説
グランドポテンシャル J ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )} の全微分は d J ( T , V , μ ) = − S ( T , V , μ ) d T − p ( T , V , μ ) d V − N ( T , V , μ ) d μ {\displaystyle dJ(T,V,\mu )=-S(T,V,\mu )dT-p(T,V,\mu )dV-N(T,V,\mu )d\mu } となる。ここで S {\displaystyle S} はエントロピー、 p {\displaystyle p} は圧力、 N {\displaystyle N} は物質量である。 従って、偏微分は S ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ T ) V , μ {\displaystyle S(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial T}}\right)_{V,\mu }} p ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ V ) T , μ {\displaystyle p(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial V}}\right)_{T,\mu }} N ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ μ ) T , V {\displaystyle N(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial \mu }}\right)_{T,V}} となる。 系のスケール変換を考えると J = − p V {\displaystyle J=-pV} の関係が得られる。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/15 14:26 UTC 版)
時間尺度上の函数 f : T → R {\textstyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} } をとる（ここでは簡単のため終域を実数直線 ℝ としたが、これは任意のバナッハ空間でよい）。 定義 (デルタ微分/ヒルゲル微分) f のデルタ微分が存在するとは、任意の ε > 0 に対し t の適当な近傍 U を選べば | f ( σ ( t ) ) − f ( s ) − f Δ ( t ) ( σ ( t ) − s ) | ≤ ε | σ ( t ) − s | ( ∀ s ∈ U ) {\displaystyle |f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leq \varepsilon |\sigma (t)-s|\qquad (\forall s\in U)} とできるときに言う。 𝕋 = ℝ と取れば、σ(t) = t かつ μ(t) = 0 であり、fΔ = f′ は通常の微分積分学で用いられる微分となる。 𝕋 = ℤ（整数全体）と取れば、σ(t) = t + 1 かつ μ(t) = 1 であり、fΔ = Δf は和分差分学で用いられる前進差分となる。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/02 16:11 UTC 版)
詳細は「微分」を参照 x および y は実数で、y は x の函数、すなわち各 x の値に対して対応する y の値がひとつ存在すると仮定する。この関係を y = f(x) と書くことができる。f(x) が直線に対する等式（線型方程式）ならば二つの実数 m および b が存在して y = mx + b が成り立つ。この「傾き・切片標準形」において m は傾きと呼ばれ、差分商 m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}} によって決定することができる。ここに記号 Δ（ギリシャ文字大文字のデルタ）は変化の増分を表す。従って Δy = m Δx。 直線でない一般の函数では、傾きを持たないことが起こる。幾何学的には、点 x = a における f の微分係数とは函数 f の点 a における接線の傾きのことをいい、上記の差分商の極限（微分商）に等しい。これはしばしばラグランジュの記法に従って f'(a), あるいはライプニッツの記法に従って dy/dx|x=a と書かれる。微分商は f の a における線型近似の傾きであるから、この微分商（と a における f の値）は点 a の近くで f の最適線型近似あるいは線型化を決定する。 f の定義域の各点 a において微分商が存在するならば、各点 a を f の a における微分商へ写す函数（導函数）が存在する。例えば、f(x) = x2 とすれば導函数は f'(x) = dy/dx = 2x である。 これと近しい関係の概念として、函数の微分がある。接点 (a, f(a)) を原点として、各軸に平行な座標軸 dx, dy を持つ局所座標系を考えるとき、この座標系において原点を通り傾き dy/dx|x=a の直線（すなわち、もとの座標系でみれば f の a における接線）は dy = dy/dx|x=a dx で表される。これは x = a における増分 Δy = Δy/Δx|x=a Δx の線型化、線型主要部であり、dy は f の a における微分と呼ばれる。 x および y が実変数のときは f の x における微分商は f のグラフの x における接線の傾きであり、f の始域と終域は一次元であるから、f の微分商は実数として与えられるが、x および y がベクトル変数のとき、f のグラフの最適線型近似は f が一度に複数の方向へどれほど変化するかに依存する。一つの方向に関する最適線型近似をとることは偏微分係数（通常、∂y/∂x と書かれる）を決定する。一度にすべての方向への f の線型化は全微分 df という。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/28 07:05 UTC 版)
詳細は「回転数 (数学)」を参照 関数 atan2 は2変数関数であるため、2つの偏導関数がある。これらの導関数が存在する点では、atan2 は定数項を除いた arctan(y/x) に等しくなる。したがって、x > 0 または y ≠ 0 の場合、 ∂ ∂ x atan2 ( y , x ) = ∂ ∂ x arctan ( y x ) = − y x 2 + y 2 , ∂ ∂ y atan2 ( y , x ) = ∂ ∂ y arctan ( y x ) = x x 2 + y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial x}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial y}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}} したがって、atan2 の勾配は次式で与えられる。 ∇ atan2 ( y , x ) = ( − y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ) . {\displaystyle \nabla {\text{atan2}}(y,x)=\left({-y \over x^{2}+y^{2}},\ {x \over x^{2}+y^{2}}\right).} 関数 atan2 を角度関数 θ(x, y) = atan2(y, x) （定数を除いて定義）として省略して表すと、全微分について次の式が得られる: d θ = ∂ ∂ x atan2 ( y , x ) d x + ∂ ∂ y atan2 ( y , x ) d y = − y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \theta &={\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} y\\[5pt]&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} y.\end{aligned}}} 関数 atan2 は、負の x 軸に沿って不連続であるが、角度を連続的に定義できないという事実を反映して、この導関数は原点を除いて連続的に定義される。これは、角度の微小な（そして実際には局所的な）変化が原点を除くすべての場所で定義できるという事実を反映している。この導関数をパスに沿って積分するとパス全体の角度が全体的に変化し、閉ループで積分すると回転数が得られる。 微分幾何学の言語では、この導関数は1-形式であり、閉である（導関数が0である）が、完全ではない（0-形式の導関数、つまり関数ではない）。実際、1点を除いた平面（Punctured Plane）の1次のド・ラームコホモロジーを生成する。これはそのような形式の最も基本的な例であり、微分幾何学の基本である。 atan2 の偏導関数には三角関数が含まれていないため、三角関数の評価にコストがかかる可能性がある多くのアプリケーション（例：組み込みシステム）で特に役立つ。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 06:18 UTC 版)
関数 y(x) の導関数は .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dy⁄dx ではなく、dy⁄dx の標準部として定義される。 例えば、f (x) = x2 の導関数 f'(x) を求めるには、dx を無限小超実数として f ′ ( x ) = st ( f ( x + d x ) − f ( x ) d x ) = st ( x 2 + 2 x ⋅ d x + d x 2 − x 2 d x ) = st ( 2 x ⋅ d x + d x 2 d x ) = st ( 2 x + d x ) = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+dx^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x\end{aligned}}} この導関数の定義において標準部をとるのは、無限小量の平方を無視するという伝統的な慣習の厳密な代替である。上記の式の三行目以降、ニュートンから19世紀にわたっての典型的な方法は単に dx2 の項を無視するというものであったが、超実数の体系では dx2 ≠ 0 である（超実数の体系では dx は非零であり、かつ「非零実数の平方は非零である」という主張に移行原理が適用できるから）。ただし、dx2 という量は、dx に比べ無限に小さい (infinitesimally small)。つまり、超実数の体系は無限小量の無限の階層を含む。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 05:15 UTC 版)
双球座標系のヤコビ行列は ∂ ( x , y , z ) ∂ ( σ , τ , ϕ ) = a ( cosh τ − cos σ ) 2 [ ( cos σ cosh τ − 1 ) cos ϕ sin σ sinh τ cos ϕ − ( cosh τ − cos σ ) sin σ cos ϕ ( cos σ cosh τ − 1 ) sin ϕ sin σ sinh τ sin ϕ ( cosh τ − cos σ ) sin σ sin ϕ sin σ sinh τ − cos σ cosh τ + 1 0 ] {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\sigma ,\tau ,\phi )}}={\frac {a}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}(\cos \sigma \cosh \tau -1)\cos \phi &\sin \sigma \sinh \tau \cos \phi &-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \cos \phi \\(\cos \sigma \cosh \tau -1)\sin \phi &\sin \sigma \sinh \tau \sin \phi &(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \sin \phi \\\sin \sigma \sinh \tau &-\cos \sigma \cosh \tau +1&0\\\end{bmatrix}}} である。したがって計量テンソルは g = a 2 ( cosh τ − cos σ ) 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 sin 2 σ ] {\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\sin ^{2}\sigma \\\end{bmatrix}}} である。これより、微小体積要素は d V = d σ d τ d ϕ a 3 sin σ ( cosh τ − cos σ ) 3 {\displaystyle dV=d\sigma \,d\tau \,d\phi \,{\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}} となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる： ∇ 2 f = ( cosh τ − cos σ ) 3 a 2 [ 1 sin σ ∂ ∂ σ ( sin σ cosh τ − cos σ ∂ f ∂ σ ) + ∂ ∂ τ ( 1 cosh τ − cos σ ∂ f ∂ τ ) + 1 sin 2 σ ( cosh τ − cos σ ) ∂ 2 f ∂ ϕ 2 ] {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}{a^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]}
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)
円柱座標変換の偏導関数は、 ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) = ( cos θ sin θ 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} (2-1-1) ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) = ( − r sin ( θ ) r cos ( θ ) 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}-r\sin(\theta )\\r\cos(\theta )\\0\\\end{matrix}}\right)} (2-1-2) ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} (2-1-3) である。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。 従って、円柱座標変換の点 (r , θ, ζ) におけるヤコビ行列J Φ(r , θ, ζ) およびヤコビアン det(J Φ(r , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域はr -θ-ζ空間全域である。 J Φ ( r , θ , ζ ) = ( cos θ − r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)} (2-1-4) det ( J Φ ( r , θ , ζ ) ) = | cos θ − r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 | = r {\displaystyle \det({{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta ))=\left|{\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|=r} (2-1-5) 従って、円座標のときと同じく、特異点（ヤコビアンが 0 となる点）は、r = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全てx -y -z 空間上ではz 軸に移る。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/05 15:32 UTC 版)
変数 x の下降 n-乗の微分は、 d d x x n _ = x n _ ( H x − H x − n ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\underline {n}}={x}^{\underline {n}}(H_{x}-H_{x-n})} である。ただし、 H x {\displaystyle H_{x}} は調和数である。 また変数 x の上昇 n-乗の微分は、 d d x x n ¯ = x n ¯ ( ψ ( x + n ) − ψ ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\overline {n}}={x}^{\overline {n}}(\psi (x+n)-\psi (x))} である。ただし、 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} はディガンマ関数である。 逆に、自然数 n の下降 x-乗の冪指数 x を変数とする微分は、 d d x n x _ = n x _ ψ ( n − x + 1 ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\underline {x}}={n}^{\underline {x}}\psi (n-x+1),} 自然数 n の上昇 x-乗の冪指数 x に関する微分は、 d d x n x ¯ = n x ¯ ψ ( n + x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\overline {x}}={n}^{\overline {x}}\psi (n+x)} となる。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 01:10 UTC 版)
零函数は滑らかな函数、すなわち何回でも連続的微分可能であり、その各階の導函数は零函数で与えられる。すなわち φ ( n ) ( x ) = φ ( x ) ≡ 0 ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle \varphi ^{(n)}(x)=\varphi (x)\equiv 0\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} が成り立つ。指数函数を除けば、このような性質を持つ函数は零函数に限る。 零函数自体は、定数函数の導函数として、あるいは一般に n-次多項式函数の (n + 1)-階導函数として得ることができる。
※この「微分」の解説は、「零写像」の解説の一部です。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 06:06 UTC 版)
区間 S 上の関数列 fn が微分可能で関数 f に収束するとき、f の導関数を関数列 fn の導関数の極限として得たい。ところが、これは一般には不可能である。たとえ収束が一様であったとしても、極限関数は微分可能とは限らない。さらに微分可能であったとしても、極限関数の微分が関数列の微分の極限と一致するとも限らない。例えば f n ( x ) = 1 n sin ( n x ) {\displaystyle f_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\sin(nx)} は一様極限が 0 であるが、その微分は 0 に収束しない。関数列の極限と関数列の微分の極限の関係を保証するには、関数列の微分の一様収束に加えて、 少なくとも一点での収束が必要となる。厳密な主張は次のようになる。 定理 区間 [a, b] 上で微分可能な関数列 fn に対し、区間 [a, b] 上のある点 x0 において fn(x0) は収束し、関数列 (fn′) は区間 [a, b] 上で一様収束すると仮定する。このとき関数列 fn は関数 f に一様収束し、x ∈ [a, b] に対して f ′ ( x ) = lim n → ∞ f n ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }{f_{n}}'(x)} が成り立つ。
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
行列式は多項式であり、微分が可能である。余因子展開の式から、A の行列式 det(A) の微分として次の関係が成り立つ。 ∂ det ( A ) ∂ a i j = Δ i j {\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial a_{ij}}}=\Delta _{ij}} d det ( A ) = ∑ i , j = 1 n Δ i j d a i j = t r ( A ~ d A ) = det ( A ) t r ( A − 1 d A ) {\displaystyle d\det(A)=\textstyle \sum \limits _{i,j=1}^{n}\Delta _{ij}da_{ij}=\mathrm {tr} ({\tilde {A}}dA)=\det(A)\,\mathrm {tr} (A^{-1}\,dA)}
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微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/11 13:49 UTC 版)
底がネイピア数 e、すなわち lim h → 0 e h − 1 h = 1 {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1} である指数関数 ex の導関数は ex 自身となる。 d d x e x = lim h → 0 e x + h − e x h = e x lim h → 0 e h − 1 h = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,e^{x}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}} 解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。つまり、指数関数 exp(x) とは、 exp ( 0 ) = 1 {\displaystyle \exp(0)=1} ( d / d x − 1 ) exp ( x ) = 0 {\displaystyle (d/dx-1)\exp(x)=0} を満たす関数のことである。この関数は代数的な定義で示される性質を満たし、両者は一致することが示される。 一般の指数関数 ax の導関数は自然対数 ln を用いて、合成関数の微分公式より、 d d x a x = d d x e x ln a = d ( x ln a ) d x d e x ln a d ( x ln a ) = ( ln a ) a x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\ln a}={\frac {{d}(x\ln a)}{{d}x}}{\frac {{d}{e}^{x\ln a}}{{d}(x\ln a)}}=(\ln a)a^{x}} となる。a = e とすれば lne = 1 なので最初の公式に戻る。
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