マン・ホイットニーの U 検定

統計学用語辞典

マン・ホイットニーの U 検定

　例えば，n1 = 5，n2=10， U0 = 6 のとき有意水準 5% で両側検定を行うとする。
　表からパーセント点は 8 であることが分かり，U0 < 8 ゆえ帰無仮説を棄却する。

		両側検定		片側検定
n1	n2	α=0.05	α=0.01	α=0.05	α=0.01
2	2	---	---	---	---
	3	---	---	---	---
	4	---	---	---	---
	5	---	---	0	---
	6	---	---	0	---
	7	---	---	0	---
	8	0	---	1	---
	9	0	---	1	---
	10	0	---	1	---
	11	0	---	1	---
	12	1	---	2	---
	13	1	---	2	0
	14	1	---	2	0
	15	1	---	3	0
	16	1	---	3	0
	17	2	---	3	0
	18	2	---	4	0
	19	2	0	4	1
	20	2	0	4	1
	21	3	0	5	1
	22	3	0	5	1
	23	3	0	5	1
	24	3	0	6	1
	25	3	0	6	1
	26	4	0	6	1
	27	4	1	7	2
	28	4	1	7	2
	29	4	1	7	2
	30	5	1	7	2
	31	5	1	8	2
	32	5	1	8	2
	33	5	1	8	2
	34	5	1	9	3
	35	6	1	9	3
	36	6	1	9	3
	37	6	1	10	3
	38	6	1	10	3
	39	7	2	10	3
	40	7	2	11	3
	41	7	2	11	4
	42	7	2	11	4
	43	7	2	12	4
	44	8	2	12	4
	45	8	2	12	4
	46	8	2	13	4
	47	8	2	13	4
	48	9	3	13	5
	49	9	3	13	5
	50	9	3	14	5
3	3	---	---	---	---
	4	---	---	0	---
	5	0	---	1	---
	6	1	---	2	---
	7	1	---	2	0
	8	2	---	3	0
	9	2	0	4	1
	10	3	0	4	1
	11	3	0	5	1
	12	4	1	5	2
	13	4	1	6	2
	14	5	1	7	2
	15	5	2	7	3
	16	6	2	8	3
	17	6	2	9	4
	18	7	2	9	4
	19	7	3	10	4
	20	8	3	11	5
	21	8	3	11	5
	22	9	4	12	6
	23	9	4	13	6
	24	10	4	13	6
	25	10	5	14	7
	26	11	5	15	7
	27	11	5	15	7
	28	12	5	16	8
	29	13	6	17	8
	30	13	6	17	9
	31	14	6	18	9
	32	14	7	19	9
	33	15	7	19	10
	34	15	7	20	10
	35	16	8	21	11
	36	16	8	21	11
	37	17	8	22	11
	38	17	9	23	12
	39	18	9	23	12
	40	18	9	24	13
	41	19	9	25	13
	42	19	10	25	13
	43	20	10	26	14
	44	20	10	27	14
	45	21	11	27	14
	46	22	11	28	15
	47	22	11	29	15
	48	23	12	30	16
	49	23	12	30	16
	50	24	12	31	16
4	4	0	---	1	---
	5	1	---	2	0
	6	2	0	3	1
	7	3	0	4	1
	8	4	1	5	2
	9	4	1	6	3
	10	5	2	7	3
	11	6	2	8	4
	12	7	3	9	5
	13	8	3	10	5
	14	9	4	11	6
	15	10	5	12	7
	16	11	5	14	7
	17	11	6	15	8
	18	12	6	16	9
	19	13	7	17	9
	20	14	8	18	10
	21	15	8	19	11
	22	16	9	20	11
	23	17	9	21	12
	24	17	10	22	13
	25	18	10	23	13
	26	19	11	24	14
	27	20	12	25	15
	28	21	12	26	16
	29	22	13	27	16
	30	23	13	28	17
	31	24	14	29	18
	32	24	14	30	18
	33	25	15	31	19
	34	26	16	32	20
	35	27	16	33	20
	36	28	17	34	21
	37	29	17	35	22
	38	30	18	36	22
	39	31	19	38	23
	40	31	19	39	24
	41	32	20	40	25
	42	33	20	41	25
	43	34	21	42	26
	44	35	21	43	27
	45	36	22	44	27
	46	37	23	45	28
	47	38	23	46	29
	48	39	24	47	29
	49	39	24	48	30
	50	40	25	49	31
5	5	2	0	4	1
	6	3	1	5	2
	7	5	1	6	3
	8	6	2	8	4
	9	7	3	9	5
	10	8	4	11	6
	11	9	5	12	7
	12	11	6	13	8
	13	12	7	15	9
	14	13	7	16	10
	15	14	8	18	11
	16	15	9	19	12
	17	17	10	20	13
	18	18	11	22	14
	19	19	12	23	15
	20	20	13	25	16
	21	22	14	26	17
	22	23	14	28	18
	23	24	15	29	19
	24	25	16	30	20
	25	27	17	32	21
	26	28	18	33	22
	27	29	19	35	23
	28	30	20	36	24
	29	32	21	38	25
	30	33	22	39	26
	31	34	22	40	27
	32	35	23	42	28
	33	37	24	43	29
	34	38	25	45	30
	35	39	26	46	31
	36	40	27	48	32
	37	41	28	49	33
	38	43	29	50	34
	39	44	30	52	35
	40	45	31	53	36
	41	46	31	55	37
	42	48	32	56	38
	43	49	33	58	39
	44	50	34	59	40
	45	51	35	60	41
	46	53	36	62	42
	47	54	37	63	44
	48	55	38	65	45
	49	56	39	66	46
	50	58	40	68	47
6	6	5	2	7	3
	7	6	3	8	4
	8	8	4	10	6
	9	10	5	12	7
	10	11	6	14	8
	11	13	7	16	9
	12	14	9	17	11
	13	16	10	19	12
	14	17	11	21	13
	15	19	12	23	15
	16	21	13	25	16
	17	22	15	26	18
	18	24	16	28	19
	19	25	17	30	20
	20	27	18	32	22
	21	29	19	34	23
	22	30	21	36	24
	23	32	22	37	26
	24	33	23	39	27
	25	35	24	41	29
	26	37	25	43	30
	27	38	27	45	31
	28	40	28	46	33
	29	42	29	48	34
	30	43	30	50	35
	31	45	32	52	37
	32	46	33	54	38
	33	48	34	56	40
	34	50	35	57	41
	35	51	37	59	42
	36	53	38	61	44
	37	55	39	63	45
	38	56	40	65	46
	39	58	41	67	48
	40	59	43	68	49
	41	61	44	70	51
	42	63	45	72	52
	43	64	46	74	53
	44	66	48	76	55
	45	67	49	78	56
	46	69	50	79	58
	47	71	51	81	59
	48	72	53	83	60
	49	74	54	85	62
	50	76	55	87	63
7	7	8	4	11	6
	8	10	6	13	7
	9	12	7	15	9
	10	14	9	17	11
	11	16	10	19	12
	12	18	12	21	14
	13	20	13	24	16
	14	22	15	26	17
	15	24	16	28	19
	16	26	18	30	21
	17	28	19	33	23
	18	30	21	35	24
	19	32	22	37	26
	20	34	24	39	28
	21	36	25	41	30
	22	38	27	44	31
	23	40	29	46	33
	24	42	30	48	35
	25	44	32	50	36
	26	46	33	53	38
	27	48	35	55	40
	28	50	36	57	42
	29	52	38	59	43
	30	54	40	61	45
	31	56	41	64	47
	32	58	43	66	49
	33	60	44	68	50
	34	62	46	70	52
	35	64	47	73	54
	36	66	49	75	56
	37	68	51	77	57
	38	70	52	79	59
	39	72	54	82	61
	40	74	55	84	63
	41	76	57	86	64
	42	78	58	88	66
	43	80	60	91	68
	44	82	62	93	70
	45	84	63	95	71
	46	86	65	97	73
	47	88	66	99	75
	48	90	68	102	77
	49	92	69	104	78
	50	94	71	106	80
8	8	13	7	15	9
	9	15	9	18	11
	10	17	11	20	13
	11	19	13	23	15
	12	22	15	26	17
	13	24	17	28	20
	14	26	18	31	22
	15	29	20	33	24
	16	31	22	36	26
	17	34	24	39	28
	18	36	26	41	30
	19	38	28	44	32
	20	41	30	47	34
	21	43	32	49	36
	22	45	34	52	38
	23	48	35	54	40
	24	50	37	57	42
	25	53	39	60	45
	26	55	41	62	47
	27	57	43	65	49
	28	60	45	68	51
	29	62	47	70	53
	30	65	49	73	55
	31	67	51	76	57
	32	69	53	78	59
	33	72	55	81	61
	34	74	57	84	64
	35	77	59	86	66
	36	79	60	89	68
	37	81	62	91	70
	38	84	64	94	72
	39	86	66	97	74
	40	89	68	99	76
	41	91	70	102	78
	42	93	72	105	81
	43	96	74	107	83
	44	98	76	110	85
	45	101	78	113	87
	46	103	80	115	89
	47	105	82	118	91
	48	108	84	121	93
	49	110	86	123	95
	50	113	88	126	98
9	9	17	11	21	14
	10	20	13	24	16
	11	23	16	27	18
	12	26	18	30	21
	13	28	20	33	23
	14	31	22	36	26
	15	34	24	39	28
	16	37	27	42	31
	17	39	29	45	33
	18	42	31	48	36
	19	45	33	51	38
	20	48	36	54	40
	21	50	38	57	43
	22	53	40	60	45
	23	56	43	63	48
	24	59	45	66	50
	25	62	47	69	53
	26	64	49	72	55
	27	67	52	75	58
	28	70	54	78	60
	29	73	56	82	63
	30	76	58	85	65
	31	78	61	88	68
	32	81	63	91	70
	33	84	65	94	73
	34	87	68	97	75
	35	89	70	100	78
	36	92	72	103	80
	37	95	75	106	83
	38	98	77	109	85
	39	101	79	112	88
	40	103	81	115	90
	41	106	84	118	93
	42	109	86	121	95
	43	112	88	124	98
	44	115	91	127	100
	45	117	93	131	103
	46	120	95	134	105
	47	123	98	137	108
	48	126	100	140	110
	49	129	102	143	113
	50	131	104	146	115
10	10	23	16	27	19
	11	26	18	31	22
	12	29	21	34	24
	13	33	24	37	27
	14	36	26	41	30
	15	39	29	44	33
	16	42	31	48	36
	17	45	34	51	38
	18	48	37	55	41
	19	52	39	58	44
	20	55	42	62	47
	21	58	44	65	50
	22	61	47	68	53
	23	64	50	72	55
	24	67	52	75	58
	25	71	55	79	61
	26	74	58	82	64
	27	77	60	86	67
	28	80	63	89	70
	29	83	66	93	73
	30	87	68	96	76
	31	90	71	100	78
	32	93	74	103	81
	33	96	76	107	84
	34	99	79	110	87
	35	103	82	114	90
	36	106	84	117	93
	37	109	87	121	96
	38	112	90	124	99
	39	115	92	128	101
	40	119	95	131	104
	41	122	98	135	107
	42	125	100	138	110
	43	128	103	142	113
	44	131	106	145	116
	45	135	108	149	119
	46	138	111	152	122
	47	141	114	155	125
	48	144	116	159	127
	49	147	119	162	130
	50	151	122	166	133
11	11	30	21	34	25
	12	33	24	38	28
	13	37	27	42	31
	14	40	30	46	34
	15	44	33	50	37
	16	47	36	54	41
	17	51	39	57	44
	18	55	42	61	47
	19	58	45	65	50
	20	62	48	69	53
	21	65	51	73	57
	22	69	54	77	60
	23	73	57	81	63
	24	76	60	85	66
	25	80	63	89	70
	26	83	66	92	73
	27	87	69	96	76
	28	90	72	100	79
	29	94	75	104	83
	30	98	78	108	86
	31	101	81	112	89
	32	105	84	116	92
	33	108	87	120	96
	34	112	90	124	99
	35	116	93	128	102
	36	119	96	131	106
	37	123	99	135	109
	38	127	102	139	112
	39	130	106	143	115
	40	134	109	147	119
	41	137	112	151	122
	42	141	115	155	125
	43	145	118	159	128
	44	148	121	163	132
	45	152	124	167	135
	46	155	127	171	138
	47	159	130	174	142
	48	163	133	178	145
	49	166	136	182	148
	50	170	139	186	151
12	12	37	27	42	31
	13	41	31	47	35
	14	45	34	51	38
	15	49	37	55	42
	16	53	41	60	46
	17	57	44	64	49
	18	61	47	68	53
	19	65	51	72	56
	20	69	54	77	60
	21	73	58	81	64
	22	77	61	85	67
	23	81	64	90	71
	24	85	68	94	75
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45	45	769	694	808	724
	46	787	711	827	742
	47	806	729	846	760
	48	824	746	865	778
	49	843	763	884	795
	50	861	780	903	813
46	46	806	729	846	760
	47	825	747	866	778
	48	844	764	885	797
	49	863	782	905	815
	50	882	800	925	833
47	47	845	765	886	797
	48	864	783	906	816
	49	883	801	926	834
	50	903	819	946	853
48	48	884	802	926	835
	49	904	820	947	854
	50	924	839	967	873
49	49	924	839	968	873
	50	944	858	989	893
50	50	965	877	1010	913

二群の代表値の差の検定（マン・ホィットニーの U 検定）

例題：
　「表 1 のような観察値が得られた。両群の母代表値に差があるかどうか検定しなさい。」

表 1．二群の観察値

第 1 群の観察値	1.2，1.5，1.8，2.6
第 2 群の観察値	1.3，1.9，2.9，3.1，3.9

R による解析:

> wilcox.test(c(1.2,1.5,1.8,2.6), c(1.3,1.9,2.9,3.1,3.9))

	Wilcoxon rank sum test

data:  c(1.2, 1.5, 1.8, 2.6) and c(1.3, 1.9, 2.9, 3.1, 3.9) 
W = 4, p-value = 0.1905
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 

二群の代表値の差の検定（マン・ホィットニーの U 検定）

例題：
　「A，B 薬の治療効果を比較した結果が表 3 のように与えれれている。2 群の母代表値の差を有意水準 5% で両側検定しなさい。」

表 3．列間に順序関係があるクロス集計表形式で与えられた場合の代表値の差の検定

	不変	やや有効	有効	著効	合計
A薬投与群	9	12	6	3	30
B薬投与群	4	9	11	5	29

R による解析:

# A <- c(rep(1, 9), rep(2, 12), rep(3, 6), rep(4, 3)) # A 薬
# B <- c(rep(1, 4), rep(2, 9), rep(3, 11), rep(4, 5)) # B 薬
A <- rep(1:4, c(9, 12, 6, 3))
B <- rep(1:4, c(4, 9, 11, 5))

> wilcox.test(A, B, correct=F) # correct=F は連続性の修正を行わないことを指示している。

	Wilcoxon rank sum test 
# 名前が違う別の検定のように見えるが，マン・ホイットニーの U 検定と等価な検定である。

data:  A and B 
W = 310.5, p-value = 0.04883
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 

Warning message: 
Cannot compute exact p-value with ties in: wilcox.test.default(A, B, correct = F) 

U の分散や，Z 値が表示されないので，自分で定義した関数を使ってみる

> U.test(A, B, correct=F)
           U         E(U)         V(U)            Z      P value 
3.105000e+02 4.350000e+02 3.993559e+03 1.970105e+00 4.882639e-02 

> chisq.test(matrix(c(9,12,6,3,4,9,11,5),ncol=4,byrow=T))
 # 分布の差の検定（独立性の検定）を行ってみる。

	Pearson's Chi-squared test

data:  matrix(c(9, 12, 6, 3, 4, 9, 11, 5), ncol = 4, byrow = T) 
X-squared = 4.3065, df = 3, p-value = 0.2302

Warning message: 
Chi-squared approximation may be incorrect in:
 chisq.test(matrix(c(9, 12, 6, 3, 4, 9, 11, 5), ncol = 4, byrow = T)) 

二群の代表値の差の検定（マン・ホィットニーの U 検定）

例題：
　「表 1 のような観察値が得られた。両群の母代表値に差があるかどうか検定しなさい。」

表 1．二群の観察値

第 1 群の観察値	1.2，1.5，1.8，2.6
第 2 群の観察値	1.3，1.9，2.9，3.1，3.9

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 H0：「2 群の母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 H1：「2 群の母代表値に差がある」。
   • 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。
   
   
2. 2 群のケース数をそれぞれ n1，n2，また，n = n1 + n2 とする。
   例題では，n1 = 4，n2 = 5，n = 9 である。
   
3. 2 群をこみにして観察値を小さい順に並べ，小さい方から順位をつける。
   同順位がある場合には平均順位をつける。
   例題では，表 2 のようになる。
   

   表 2．順位付け

   観察値	1.2	1.3	1.5	1.8	1.9	2.6	2.9	3.1	3.9
   順位	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   群別	1	2	1	1	2	1	2	2	2

   
   
4. 各群ごとに，付けられた順位の和 R1，R2 を求める。
   例題では，
   第 1 群に属する観察値に付けられた順位の和
   　　R1 = 1 + 3 + 4 + 6 = 14
   第 2 群に属する観察値に付けられた順位の和
   　　R2 = 2 + 5 + 7 + 8 + 9 = 31
   となる。
   
5. 検定統計量 U1，U2 を求める。
   U1 = n1 n2 + n1 (n1+1) / 2-R1
   U2 = n1 n2 + n2 (n2+1) / 2-R2
   注：並べ替えたり，平均順位をつけたりするのは面倒くさい。U 統計量を求める手順として別のやり方もある。
   
6. 
   例題では，U1 = 16，U2 = 4 となる。
   
7. 統計数値表を引く都合上，検定統計量は U0 = min（U1, U2） とする。
   例題では，U0 = 4 である。
   
8. 統計数値表が利用できるかどうかで，以下のいずれかを選択する。
   
   • ケース数が小さい場合
     
     1. 統計数値表を参照して棄却限界値を求める。
        例題では，5% の有意水準で検定を行うとき，棄却限界値は 1 である。
        
     2. 帰無仮説の採否を決める。
        
        • U0 ＞ 棄却限界値のとき，帰無仮説を採択する。「2 群の母代表値に差があるとはいえない」。
        • U0 ≦ 棄却限界値のとき，帰無仮説を棄却する。「2 群の母代表値に差がある」。
        
        例題では，帰無仮説は採択される。すなわち，「2 群の母代表値に差があるとはいえない」といえる。
     
     注：同順位がある場合には，統計数値表は使用できないので，「ケース数が大きい場合」の正規化検定を援用する。ただし，ケース数がある程度大きくなければ近似的な検定結果が得られるにすぎない。
     
   • ケース数が大きい場合
     
     1. 検定統計量 U の平均値は E(U) = n1 n2 / 2，分散は V(U) = n1 n2 ( n + 1) / 12 ゆえ，次式の Z0 は，正規分布に従う。
        
        
     2. 有意確率を P = Pr｛| Z | ≧ Z0｝ とする。
        正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照すること。
        
     3. 帰無仮説の採否を決める。
        
        • P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「2 群の母代表値に差があるとはいえない」。
        • P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「2 群の母代表値に差がある」。
     
     注：同順位がある場合には，Z0 を求める式中の分散 V(U) を修正しなければならない。
     同順位となる値が m 種類あり，それぞれの同順位となる値の数（同順位の大きさ）を ti（i = 1，2，... ，m）としたとき，分散 V(U) は次式で表される。
     

ウィキペディア

マン・ホイットニーのU検定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/26 07:03 UTC 版)

マン・ホイットニーのU検定（マン・ホイットニーのユーけんてい、英: Mann–Whitney U test）はノンパラメトリックな統計学的検定の一つであり、特に特定の母集団がもう一方よりも大きな値を持つ傾向にある時に、2つの母集団が同じであるとする帰無仮説に基づいて検定する。ウィルコクソンの順位和検定と呼ばれるのも実質的に同じ方法であり、まとめてマン・ホイットニー・ウィルコクソン検定とも呼ばれる。

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「マン・ホイットニーの U 検定」の例文・使い方・用例・文例

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