効用関数とは?

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効用関数

読み方こうようかんすう
【英】:utility function

概要

任意の2つの選択対象X,Y \,に対し, Y \,よりもX \,を好むことを表す選好関係X \succ Y \,が数の大小関係u(X) > u(Y) \,同値となるような実数値関数u \,を, \succ \,表現する効用関数という. また, 貨幣のように譲渡可能な財があって,そのm \,単位X \,との組(X,m) \,効用u(X,m)=U(X)+m \,与えられるとき,U \,譲渡可能効用という. さらに, X \,がくじでU(X) \,X \,期待効用として与えられるとき, U \,譲渡可能なフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用となる.

詳説

 自然科学領域で「価値」が陽に議論されることは少ないが, 人間主体にした方策を論じるオペレーションズ・リサーチ分野では「価値」の問題避けて通ることはできない.

 効用関数とは, 一言でいえば人間価値観定量的表現するための数学モデルである. 価値に関する科学的アプローチ経済学分野古くから扱われてきた. 人びとは財を消費したりサービス受けることによって一定の心理的満足感を得るが, この満足の度合い効用という. この概念消費者行動理論において基本的役割を担う [1].

 いま, 財Aを x_1\, 量, 財Bを x_2\, 量だけ消費するときに得られる効用(または価値)を u(x_1,x_2)\, で表し, これを効用関数(または価値関数)という. ここで予算 b\, 与えられたとして, 財A, Bの単位量あたりの価格それぞれ p_1\, , p_2\, とすれば, 消費者


\mbox{maximize.} \qquad \quad u(x_1,x_2)\,


\mbox{subject to.} \quad  p_1 x_1 + p_2 x_2 \le b,\,


満たす解, すなわち予算制約のもとで最も大き満足感が得られる財Aと財Bの量の組を購入するであろう. すなわち, 「消費者自己の効用最大にする行動をとる」と考え消費者行動説明することが試みられている.


 近代経済学初期においては, 主観価値説として基数尺度 (cardinal scale)に従う基数効用関数(cardinal utility function)の存在仮定することによってさまざまな経済理論を展開した. それは限界効用(marginal utility)を中心にした議論限界革命とも呼ばれている. しかし, その後, 効用の可測性はあまりにも強い要請であると批判され, 人びとの主観的価値表現する効用関数として基数効用関数を排除し, 大きさ大小関係だけを表す順序尺度 (ordinalscale)に従う序数効用関数(または順序効用関数)(ordinal utility function)のみの存在仮定することによって経済分析を行う方向に移ってゆく [1]. これは, 経験的与えられる無差別曲線(indifference curve)を使って消費者行動説明ようとするパレート提案よるものである. 無差別曲線から導かれる序数効用に対して限界効用(効用微分値)の概念使えない. そのかわり無差別曲線傾きを表す限界代替率(marginal rate of substitution)が使われる [2].


 消費者行動均衡条件導出するうえでは序数効用関数によってその目的達成することができるが, 多目的意思決定(multiple criteria decision making)のための選好解を導出するには, 基数効用関数の存在仮定することが必要になる. さらに, リスクを伴う意思決定問題では, 評価対象となる結果がある確率分布のもとで発生するので, 選好順序求めるうえで効用期待値評価する必要があり, そのためには基数効用関数が必要になる. リスク下の意思決定問題に対して期待効用最大化仮説が意味をもつように,公理系をはじめて作ったのはフォン・ノイマンモルゲンシュテルンである [3].


 結果集合 X\, 上の基数効用関数 u : X \rightarrow \mathbf{R}\, の, X\, 上の確率についての期待値


E(u,p)= \sum_{x\in X}u(x)p(x)\,


期待効用(expected utility)という. X\, 上の確率集合P=\{p_1,p_2,...\}\, とするとき, 期待効用大小によって p\, 上の選好関係 \mathop \succsim \, 表現することを考える.

定理: 基数効用関数の存在一意性 

 P\, X\, 上の確率全集合とし, (P, \mathop \succsim)\, P\, 上の選好構造とするとき, 任意の p,q \in P\, に対して


p \mathop \succsim q \Leftrightarrow E(u,p)\geq E(u,q)\,


満たす X\, 上の基数効用関数 u : X \rightarrow \mathbf{ R}\, 存在するための必要十分条件次のように与えられる.  

 NM1 (P, \mathop \succsim)\, は弱順序である.  

 NM2 p \succ q \Rightarrow \alpha p + (1 - \alpha )r \succ\alpha q + (1-\alpha )r, \; \forall r \in P, \; \alpha \in (0,1)\,

 NM3 p \succ q \succ r \Rightarrow \alpha p + (1 - \alpha)r\succ q \succ \beta p + (1- \beta )r\, , for some \alpha, \beta \in(0,1)\,

 このような 効用関数u\, は正線形変換(u'=h+ku\, 満たす定数 h\, k>0\, 存在)の範囲一意であり, 別名フォン・ノイマン=モルゲンシュテルン効用関数という.  

 さらに, サヴェージは, 結果集合上に客観確率考え代りに, 自然の集合上に主観確率(subjective probability)を考え, 期待効用最大化仮説成り立つ基数効用関数と主観確率存在するための必要十分条件求めた. [4]

 期待効用仮説に基づく期待効用モデルは, 「決定がいかにあるべきか」を議論する規範的(normative)モデルとしては有用なモデルであるが, 「決定実際にどのようになされているか」を議論する記述的(descriptive)モデル(あるいは行動科学モデル)としては問題がある. すなわち, アレー反例やエルスバーグの反例見られるように期待効用モデルでは説明できない現象いくつか存在する [5]. これらを適切に説明するモデルとして, ノーベル経済学賞輝いたカーネマンとトゥヴァースキによるプロスペクト理論[5]や累積プロスペクト理論[6]が提唱されている.

 プロスペクト理論は,期待効用理論における確率を,確率に関する主観的重み付き関数置き換え一般化することにより,アレー判例確実性効果),希求水準効果遊離効果などの,経験的に知られている選好構造を適切に説明するために作られた記述的モデルである.そこで使われる価値関数は,参照点(希求水準)をはさんで利得領域損失領域異なり利得領域における価値は上に凸で緩やかなカーブであるのに対して損失領域における価値は下に凸で急カーブであり非対称になっている.すなわち,利得領域ではリスク回避型であるのに対して損失領域ではリスク選好となる.利得損失曲線傾き異なることは,損失回避表現している[5].また,確率に関する主観的重み関数は,「人々は非常に小さ確率を,それ自身より大きく感じる」ことをモデル化している.

 累積プロスペクト理論も,プロスペクト理論同様の価値関数仮定するが,確率に関する重みプロスペクト理論とは異なっている.すなわち,確率の値が0または1付近の値をとるとき,確率変化対す重み変化大きく確率の値が0または1から離れるほど,確率変化対す重み変化小さくなるようにモデル化されている.これにより,限界感度逓減に関する人々心理的特性忠実表現している.

 さらに,期待効用モデルプロスペクト理論一般化したリスク下の価値関数不確実性下の価値関数提案されていて, そこでは事象生起確率(またはDempster-Shaferの確率理論 [7] でいう焦点要素基本確率)も評価属性ひとつとして扱われる [8]. リスク下の価値関数によって,アレー反例希求水準効果もとより低確率損失事象対象にした期待効用モデル反例を適切に表現することができる.また,不確実性下の価値関数によって,エルスバーグの反例もとより地球環境問題のように不確実性が高くて個々事象生起確率見積もることは困難であるが,事象集合対す基本確率見積もれるような現象対象にした意思決定支援問題応用することができる.また,このモデルによって悲観的選好楽観的選好相違を適切にモデル化することができる.

結果 x \in X\, n\, 個の属性 X_1,X_2,\ldots ,X_n\, によって特徴づけられているとき, 結果 x\,


x=(x_1,x_2,\ldots ,x_n), \; x_i \in X_i, \; i =1,2,\ldots ,n\,


で表される. 起こりうるすべての結果集合 X\, は, 直積集合 X_1 \times X_2\times \ldots \times X_n\, で表され, これを n\, 属性空間という. n\, 属性効用関数は, X=X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n\, 上に u:X_1 \times X_2\times \ldots \times X_n \rightarrow [0,1]\, として定義される. このような n\, 属性効用関数を直接求めるには, 複数属性同時に考慮して選好判断をしなければならず, 実際にはほとんど不可能である. そこで, 複数属性間に種々の独立性仮定して, 直接評価する効用関数の属性次元少なくする分解表現を得ることが重要になる. とくに, n\, 個の属性相互に効用独立という性質満たすときには, 加法型効用関数


u(x)=u(x_1,x_2,\ldots ,x_n)=\sum_{i=1}^{n} k_i u_i(x_i)\,      (1) \,


または乗法型効用関数


ku(x)+1=\prod_{i=1}^{n}(kk_iu_i(x_i)+1)\,      (2) \,


を得ることができる.ただし, u_i:X_i \rightarrow [0,1]\, すなわち u_i\, 属性 X_i\, 上の効用関数を表す. 分解表現が(1)式のような加法型で表現されるのは, n\, 個の属性相互効用独立性もとより加法独立性という性質を満足するときである. 詳細については文献[9]を参照されたい

 複数属性間で効用独立性が満たされないときには属性間に凸依存性という性質仮定することによりさらに広範囲分解表現を得ることができる [8].



参考文献

[1] P.A. Samuelson, Foundations of Economic Analysis, Harvard Univ. Press, Cambridge, USA, 1947. 佐藤隆三訳, 『経済分析の基礎』, 勁草書房, 1967.

[2] 中山弘隆, 谷野哲三, 『多目的計画法の理論応用』, 計測自動制御学会, 1994.

[3] J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, USA, 1944.

[4] 市川惇信, 『意思決定論』, 共立出版, 1983.

[5] 広田すみれ, 増田真也, 坂上貴之編著:『心理学が描くリスク世界』, 慶応義塾大学出版会, 2002.

[6] 成川康男, 非線形効用理論累積プロスペクト理論, 知能情報日本知能情報ファジィ学会誌), Vol.16, No.4, pp.296-302, 2004.

[7] G. Shafer, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press, Princeton, N. J. 1976.

[8] 田村坦之, 中村 豊, 藤田眞一, 『効用分析数理応用』, 計測自動制御学会編, コロナ社, 1997.

[9] R.L. Keeney and H. Raiffa, Decisions with Multiple Objectives, Cambridge Univ. Press (First published by Wiley, New York in 1976), Cambridge, England, 1993.


効用関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/09/03 05:12 UTC 版)

効用関数(こうようかんすう、: utility function)とは、所与の選好関係に対してならばを満たす実数値関数である[1]。ある選好関係に対応する効用関数が存在するためには、全順序である必要がある。逆に、選好関係完備性推移性を満たすならば、について上の条件を満たす関数が無数に存在することが知られている。


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  1. ^ 神取道宏ミクロ経済学の力』、日本評論社、2014年、p.14。


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