効用関数のケース
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 21:05 UTC 版)
消費財1（ x 1 {\displaystyle x_{1}} ）と消費財2（ x 2 {\displaystyle x_{2}} ）の2つの財についても同様の定義ができる。効用関数を u ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle u(x_{1},x_{2})} と置き、限界効用を M U i = d u ( x 1 , x 2 ) / d c i {\displaystyle MU_{i}=du(x_{1},x_{2})/d{c_{i}}} としたとき、代替の弾力性 σ {\displaystyle \sigma } は、 σ 12 = d ( x 1 / x 2 ) / ( x 1 / x 2 ) d ( M U 2 / M U 1 ) / ( M U 2 / M U 1 ) = d ( x 1 / x 2 ) / ( x 1 / x 2 ) d ( p 2 / p 1 ) / ( p 2 / p 1 ) {\displaystyle \sigma _{12}={\frac {d(x_{1}/x_{2})/(x_{1}/x_{2})}{d(MU_{2}/MU_{1})/(MU_{2}/MU_{1})}}={\frac {d(x_{1}/x_{2})/(x_{1}/x_{2})}{d(p_{2}/p_{1})/(p_{2}/p_{1})}}} となる。 p 1 , p 2 {\displaystyle p_{1},p_{2}} はそれぞれ財1、財2の価格である。財の相対価格が変化したときに、消費者がそれぞれの財の消費量をどれくらい調整するかを示す指標である。財2が割高になれば、財1の消費量が相対的に増えるので代替の弾力性は正である。 対数差分を変化率と解釈すると（つまり d ln A = d A / A {\displaystyle d\ln A=dA/A} ）、代替の弾力性は以下のようにも書ける。 σ 12 = d ln ( x 1 / x 2 ) d ln ( M U 2 / M U 1 ) = d ( x 1 / x 2 ) x 1 / x 2 d ( M U 2 / M U 1 ) M U 2 / M U 1 {\displaystyle \sigma _{12}={\frac {d\ln(x_{1}/x_{2})}{d\ln(MU_{2}/MU_{1})}}={\frac {\frac {d(x_{1}/x_{2})}{x_{1}/x_{2}}}{\frac {d(MU_{2}/MU_{1})}{MU_{2}/MU_{1}}}}} 生産関数のときと同様、 σ 21 = σ 12 {\displaystyle \sigma _{21}=\sigma _{12}} である。
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