数値線形代数

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数値線形代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/21 09:59 UTC 版)

数値解析における数値線形代数（すうちせんけいだいすう、英: Numerical linear algebra）とは、線形代数で現れる問題（行列積、行列指数関数、連立方程式や固有値・特異値問題）の計算・求解を行うアルゴリズムを創出するための学問である^[1][2][3]。最適化問題・有限差分法・有限要素法などに応用されている^[1]。

→「数値解析」および「線形代数」も参照

意義

どんなに次元の高い連立方程式でも、原理的にはクラメルの公式を使えば解くことはできる。しかし、クラメルの公式による数値解法ではものすごく時間がかかってしまうということが分かっている^[1]。このため、これまで様々な数値線形代数のアルゴリズムが開発されてきた^[1][2][3]。ガウスの消去法はその先駆けとも言える^[1][2][3]。

現代の主流

→「固有値問題の数値解法」も参照

現代においては

• 共役勾配法
• GMRES法
• ランチョス法
• QR法
• QZ法^{[A 1]}
• dqds法 (differential quotient difference with shift)^{[A 2][A 3][A 4][A 5][A 6][A 7]}
• oqds法 (orthogonal quotient difference with shift)^{[A 8][A 9][A 10]}
• 分割統治法^{[A 11][A 12]}
• MRRR法 (multiple relatively robust representations)^{[A 13]}
• MRTR法^{[A 14]}
• Sakurai-Sugiura 法^{[A 15]}
• CIRR 法 (Rayleigh-Ritz type method with contour integral)^{[A 16]}
• 離散勾配法に基づく解法^{[A 17][A 18]}
• フィルターを用いた固有値問題の解法^{[A 19][A 20][A 21][A 22]}

などをはじめとした高速・高精度解法（反復法）の研究が主流になっている^[2][4][5]。

クリロフ部分空間法

→「クリロフ部分空間」も参照

数値線形代数で現れる反復法の中には、クリロフ部分空間に理論的基盤を持つものが少なからず存在する。これらはクリロフ部分空間法（英: Krylov subspace methods）と総称され、数値線形代数において最も成功した手法とされている^[5]。主なクリロフ部分空間法として以下が知られている（共役勾配法については後述する）。

• en:Arnoldi iteration
• ランチョス法
• GMRES法
• MINRES法^{[A 23]}（英: minimal residual、この手法は method of minimum residual^{[1][A 24]} とは異なる）
• CR法^{[A 25]}（共役残差法、英: conjugate residual method）
• QMR系
  • QMR法^{[A 26][A 27]}（英: quasi minimal residual、MATLABで利用可能）
  • QMR-SYM法^{[A 28][A 29]}
  • TFQMR法^{[A 30]}（英: transpose free quasi minimal residual、MATLABで利用可能）

共役勾配法

→「共役勾配法」、「非線形共役勾配法」、「双共役勾配法」、および「en:LOBPCG」も参照

共役勾配法（英: conjugate gradient method）は Hestenes-Stiefel によって開発された連立方程式の数値解法であり、係数行列が正定値対称行列であるときに適用できる^{[A 31]}。この方法はガウス＝ザイデル法、ヤコビ法、SOR法よりも収束が速いとされることから、1980年代以降から様々な亜種が開発されたり、非対称行列への適用が試みられているが、前処理行列の取り方が問題によって異なるために決定版と言える解法がまだ存在してない^[1][2][5]。

以下、代表的な亜種を挙げる。

• CGS (conjugate gradient squared method)^{[A 32]}
• PCG （preconditioned conjugate gradient method、MATLABで利用可能）
• SCG (scaled conjugate gradient)^{[A 33]}
• ICCG （incomplete Cholesky conjugate gradient method、不完全コレスキー分解付共役勾配法）^[5]
• COCG (conjugate orthogonal conjugate gradient method)^{[A 34]}
• GPBiCG^{[A 35][A 36]}
• GPBiCG${\displaystyle (m,l)}$
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  • Numerical Linear Algebra in the UK: From Cayley to Exascale Computing (PDF)
  • Bringing New Algorithms in Numerical Linear Algebra to Industry (PDF)
  • Numerical Linear Algebra Routines for Emerging Computer Architectures (PDF)
  • Advances in high accuracy matrix computations (PDF)
  • Some Journals in Numerical Linear Algebra

  手法に関する解説記事

  反復法

  • 最小残差法
  • MINRES 法
  • CR法 (共役残差法)
  • CG法 (共役勾配法)
  • Arnoldi法
  • 行列の固有値問題
  • 固有値解析 (PDF)

  精度保証

  • 連立一次方程式の数値解に対する精度保証付き数値計算法 (PDF)
  • 事前誤差評価を用いた線形計算の精度保証–誤差解析から大規模計算まで– (PDF)

  研究グループ・部会

  • Numerical Linear Algebra Group (@nla_grp) - X（旧Twitter） (イギリスの数値線形代数研究グループ)
  • siagla (@siagla) - X（旧Twitter） (SIAMの数値線形代数研究部会)
  • The GAMM Activity Group on Applied and Numerical Linear Algebra
  • 計算数理グループ (名古屋大学の数値線形代数研究グループ)
  • 日本応用数理学会「行列・固有値問題の解法とその応用」研究部会 (Algorithms for Matrix / Eigenvalue Problems and their Applications) (日本応用数理学会の研究部会)

  全米科学財団

  • Collaborative Research: Randomized Numerical Linear Algebra (RandNLA) for multi-linear and non-linear data
  • Numerical Linear Algebra and Eigenvalue Computations

  科学研究費助成事業

  • 数値線形代数における高精度計算アルゴリズムの開発
  • ロバストで高効率な数値線形代数アルゴリズムの開発
  • 量子計算を併用した数値線形代数学の開拓
  • エクサ時代の非同期タスクを応用した高性能高次元数値線形代数の研究
  • リーマン多様体上の最適化アルゴリズムおよびその数値線形代数への応用

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  表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
  連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
  ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
  ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
  計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
  行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
  行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
  多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
  数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
  行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
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