外積代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/04/01 07:18 UTC 版)
関連項目
- 対称代数 — 外積代数の(積が)対称な場合の類似物
- クリフォード代数 — 外積代数の二次形式による量子化
- ワイル代数 — 対称代数のシンプレクティック形式による量子化
- 多重線型代数学
- テンソル代数
- 幾何代数
- コシュル複体
脚注
参考文献
数学的内容に関して
- Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6
- Includes a treatment of alternating tensors and alternating forms, as well as a detailed discussion of Hodge duality from the perspective adopted in this article.
- Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9
- This is the main mathematical reference for the article. It introduces the exterior algebra of a module over a commutative ring (although this article specializes primarily to the case when the ring is a field), including a discussion of the universal property, functoriality, duality, and the bialgebra structure. See chapters III.7 and III.11.
- Bryant, R.L.; Chern, S.S.; Gardner, R.B.; Goldschmidt, H.L.; Griffiths, P.A. (1991), Exterior differential systems, Springer-Verlag
- This book contains applications of exterior algebras to problems in partial differential equations. Rank and related concepts are developed in the early chapters.
- MacLane, S.; Birkhoff, G. (1999), Algebra, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2
- Chapter XVI sections 6-10 give a more elementary account of the exterior algebra, including duality, determinants and minors, and alternating forms.
- Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry, Prentice Hall
- Contains a classical treatment of the exterior algebra as alternating tensors, and applications to differential geometry.
歴史的内容に関して
- Bourbaki, Nicolas (1989). “Historical note on chapters II and III”. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag
- Clifford, W. (1878), “Applications of Grassmann's Extensive Algebra”, American Journal of Mathematics 1 (4): 350–358
- Forder, H. G. (1941), The Calculus of Extension, Cambridge University Press
- Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (The Linear Extension Theory - A new Branch of Mathematics)
- Kannenberg, Llyod (2000), Extension Theory (translation of Grassmann's Ausdehnungslehre), American Mathematical Society, ISBN 0821820311
- Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva [Geometric Calculus according to Grassmann's Ausdehnungslehre, preceded by the Operations of Deductive Logic]
- Whitehead, Alfred North (1898), A Treatise on Universal Algebra, with Applications, Cambridge
その他の文献および関連図書
- Browne, J.M. (2007), Grassmann algebra - Exploring applications of Extended Vector Algebra with Mathematica, Published on line
- An introduction to the exterior algebra, and geometric algebra, with a focus on applications. Also includes a history section and bibliography.
- Spivak, Michael (1965), Calculus on manifolds, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-9021-9
- Includes applications of the exterior algebra to differential forms, specifically focused on integration and Stokes's theorem. The notation ΛkV in this text is used to mean the space of alternating k-forms on V; i.e., for Spivak ΛkV is what this article would call ΛkV*. Spivak discusses this in Addendum 4.
- Strang, G. (1993), Introduction to linear algebra, Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0961408855
- Includes an elementary treatment of the axiomatization of determinants as signed areas, volumes, and higher-dimensional volumes.
- Onishchik, A.L. (2001), “Exterior algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Wendell H. Fleming (1965) Functions of Several Variables, Addison-Wesley.
- Chapter 6: Exterior algebra and differential calculus, pages 205-38. This textbook in multivariate calculus introduces the exterior algebra of differential forms adroitly into the calculus sequence for colleges.
- 若木喬 (2011) "グラスマンの外積代数の研究と理工学解析への応用 - ウェイバックマシン(2015年9月19日アーカイブ分)"
- Grassmann, Hermannの書Ausdehnungslehreの忠実な解釈に基づき、現代的な記号化と表現で新しい数学体系として"グラスマンの外積代数"を確立し、理工学分野の多くの問題の解析に応用している。
注釈
- ^ Grassmann (1844) では拡大された代数 (extended algebra) として導入されている (cf. Clifford 1878)。おそらく現代的な線型代数学において定義されるところの outer product との区別のために、グラスマンは彼の定義した(今日では便利に外積 (exterior product) と呼ばれる)積 (produkt) を指し示すだけのために äußere(逐語訳すれば外の (outer) あるいは外部の(exterior))という言葉を用いた。
- ^ 注意すべきは、多元環 ⋀(V) の任意の元に対して成立が要請される結合性や双線型性とは異なり、ここに挙げられる 3 つの条件は、この多元環の部分空間である V 上でのみ制約として課せられているということである。ここで条件 (1) と条件 (3) は同値であり、条件 (1) と条件 (2) は K の標数が 2 でない限り同値である。
- ^ これは標準的な定義の一つ。See, for instance, MacLane & Birkhoff (1999).
- ^ 慣習的に、特に物理学では、楔積を
- ^ 主張のうち ⋀ が全射を全射に写すという部分はより一般に V と W が環上の加群である場合にも成り立つ。See Bourbaki (1989, Proposition 3, III.7.2).
- ^ このことは V と W が可換環上の射影加群である場合にのみ一般化できる。そうでない場合には ⋀ が単射を単射に写すことが一般には期待できない。See Bourbaki (1989, Corollary to Proposition 12, III.7.9).
- ^ このようなフィルトレーションはベクトル束や可換環上の射影加群についても取れる。これはしたがって、上述の直和に対する結果よりもっと一般的な結果である。実際、他のアーベル圏では必ずしも短完全列が分裂するとは限らない。
- ^ カネンバーグはグラスマンの仕事の英訳 (Kannenberg 2000) において Ausdehnungslehre を Extension Theory と訳している。
- ^ かつてはこの計算についてさまざまな呼び方が成されており、calculus of extension (Whitehead 1898; Forder 1941) とか extensive algebra (Clifford 1878) とか、近いところでは extended vector algebra (Browne 2007) などがある。
出典
- ^ この面積の公理化はレオポルト・クロネッカーとカール・ワイエルシュトラスによる; see Bourbaki (1989, Historical Note)。近代的な取り扱いについては、see MacLane & Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2)。初等的な取り扱いについては、see Strang (1993, Chapter 5)。
- ^ このことのもっと一般な証明はたとえば Bourbaki (1989) に見ることができる。
- ^ See Sternberg (1964, §III.6).
- ^ Bourbaki (1989, III.7.1) および MacLane & Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8) を見よ。一般の普遍性に基づくより詳細な議論は MacLane & Birkhoff (1999, Chapter VI) およびブルバキの著作の至る所で見ることができる。
- ^ See Bourbaki (1989, III.7.5) for generalizations.
- ^ J. Itard (1970-1990). Biography in Dictionary of Scientific Biography. New York.
- ^ Bourbaki 1989, p. 661
外積代数と同じ種類の言葉
- 外積代数のページへのリンク