外積代数 函手性

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外積代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:18 UTC 版)

函手性

V , W をベクトル空間の対とし、f: V → W を線型写像とする。このとき普遍構成により、次数付き代数の準同型

$\textstyle \bigwedge (f)\colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (W)$

であって、その ⋀¹(V) = V への制限が

$\textstyle \bigwedge (f)|_{V}=f$

を満たすようなものが唯一つ存在する。特に ⋀(f) は斉次次数 (homogeneous degree) を保つ。⋀(f) の k-次成分は分解可能元の上では

$\textstyle \bigwedge (f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k})$

で与えられる。

$\textstyle \bigwedge ^{k}(f)=\bigwedge (f)_{\bigwedge ^{k}(V)}\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k}(W)$

とすると、変換 ⋀^k(f) の V と W の基底に関する成分は f の k × k 小行列式の作る行列である。特に、V = W で V が有限 n-次元のとき、⋀ⁿ(f) は 1 次元ベクトル空間 ⋀ⁿ(V ) をそれ自身に移すから、これはスカラーで与えられ、それはちょうど f の行列式の値である。

完全性

ベクトル空間の短完全列

$0\to U\to V\to W\to 0$

に対し、

$\textstyle 0\to \bigwedge ^{1}(U)\wedge \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)\to \bigwedge (W)\to 0$

は次数付き線型空間の完全列である。もちろん

$\textstyle 0\to \bigwedge (U)\to \bigwedge (V)$

も完全である。

直和

ベクトル空間の直和上の外積代数はそれぞれの空間上の外積代数のテンソル積に同型

$\textstyle \bigwedge (V\oplus W)=\bigwedge (V)\otimes \bigwedge (W)$

である。これは次数付き同型、つまり

$\textstyle \bigwedge ^{k}(V\oplus W)=\bigoplus _{p+q=k}\bigwedge ^{p}(V)\otimes \bigwedge ^{q}(W)$

になっている。もう少し一般に

$0\to U\to V\to W\to 0$

がベクトル空間の短完全列ならば ⋀^k(V) はフィルター付け

$\textstyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \dotsb \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}=\bigwedge ^{k}(V)$

で、その商が

$\textstyle F^{p+1}/F^{p}=\bigwedge ^{k-p}(U)\otimes \bigwedge ^{p}(W)$

なるものを持つ。特に、U が 1 次元ならば

$\textstyle 0\to U\otimes \bigwedge ^{k-1}(W)\to \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k}(W)\to 0$

は完全であり、W が 1 次元ならば

$\textstyle 0\to \bigwedge ^{k}(U)\to \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k-1}(U)\otimes W\to 0$

が完全である。