レンズ 凸レンズ

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レンズ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/03 06:10 UTC 版)

凸レンズ

基本的性質

図1-1

図1-2 物体が焦点距離より遠いときは実像ができる

図1-3 物体が焦点距離より近いときは虚像ができる

光は、ガラスなど透明な物質に入るときに屈折し、出るときにも屈折する。回転対称なガラスで軸から離れるほど内側に屈折するように傾けた形状（ふちより中央が厚い形状）にすれば、光が集まるようにすることができる。これを凸レンズ（とつレンズ、英: convex lens）という。

一枚のレンズについては、その回転対称軸を光軸と呼ぶ。以下ではレンズに入射する光束が光軸付近の十分細い領域を通る（近軸近似が成り立つ）とする。光軸に平行な光線は凸レンズを通過したのち一点に集まる。この点を焦点と呼ぶ。レンズに入る前の光線とレンズから出て焦点を通る光線とが交わる点から光軸上に下ろした垂線の足を主点と呼ぶ。主点から焦点までの距離を焦点距離と呼ぶ。また平行光をレンズの前後どちら側から入れるかに対応して二つの焦点が存在することになり、主点も二つ存在する。ただし、焦点距離は前後どちらも等しい。レンズの厚みが無視できる程度に薄いと仮定（薄レンズ近似）した場合、二つの主点は一致する。

凸レンズには主に下記のような性質がある（図1-1）。

1. 光軸に平行な光線は凸レンズを通ったのち焦点を通る
2. 焦点から出た光線は凸レンズを通ったのち光軸に平行な光線となる
3. レンズの節点を通る光は角度を変えずに進む

実像と虚像

物側焦点より遠い物体上の点（物点）から出た光（図1-2）について考えると、

1. 物から軸に平行にレンズに向かう光は、屈折されたあと像側焦点を通る光になる
2. 物側焦点を通ってレンズへ向かう光は、屈折されたあと軸に平行な光になる

結果として物点から出てレンズへ向かう光はレンズの反対側の一点（像点）を通る。軸からの物点の高さと像点の高さとの比は一定となる。像面にスクリーンを置けば物体が逆さまに拡大・縮小された像が投影されることになる。このように物点からの光が像点で交わってできる像を実像と呼ぶ。

物側焦点より近い物体上の点から出た光（図1-3）について考えると、

1. 物体から軸に平行にレンズに向かう光は、屈折されたあと像側焦点を通る光になる
2. 節点を通る光は、レンズを通る前後で角度が変わらない（薄レンズ近似では主点と節点が一致するため、ただ直進する）

結果として、実際には物点から出てレンズへ向かった光をレンズの反対側から見ると、あたかも物点より遠くの一点から出たかのように進む。このように物点からの光が像点で交わらずにできる像を虚像と呼ぶ。虚像は、ルーペのようにレンズを覗き込むことで観察できる。虚像の場合にも軸からの物点の高さと像点の高さとの比は一定となる。実像の場合と違い、光が実際に1点に集まるわけではないので、スクリーンを置いても像を投影することはできない。レンズを覗いて虚像を観察できるのは、目が網膜上に実像を結像させるからである。

レンズの公式

焦点距離 f のレンズ（f は凸レンズでは正、凹レンズでは負とする）について、 主点を原点とした光軸方向の座標を s₁ (通常は負)、像の光軸方向の座標を s₂ とすると

1/s₂ = 1/f + 1/s₁

という関係（レンズの公式）が成り立つ。より広く知られた形の式

1/a + 1/b = 1/f

は、s₁, s₂ の絶対値をそれぞれa, b とおいた（距離として表した）ものである。

物体が物側焦点より外側にある（つまり |s₁| > f）ならば倒立実像がレンズに関し物体と反対側 (''s₂ > 0) にでき、物側焦点より内側にある（|s₁| < f）ならば正立虚像が物体と同じ側 (s₂ < 0) にできる。像と物の大きさの比（横倍率） m は

m = s₂/s₁

で表される（m は実像では負、虚像で正である）。

上記レンズの公式の別の表現として、前側焦点と物との座標差を z 、後側焦点と像との座標差を z' とおくと以下のニュートン形式の式が成り立つ。

-zz' = f ²
m = -z' /f = f/z

ルーペ

虫眼鏡（凸レンズの代表的利用例）

ルーペの光路図

ルーペ（虫眼鏡、独: Lupe）は、凸レンズでできる拡大された虚像を目視観察する道具である。ルーペの倍率は、ルーペ無しで距離 L のところから物体を見たときと、ルーペを通して見たときの虚像の見かけの大きさ（視角）の比であらわす。すなわち、ルーペ無し・有りのときの見込み角度をそれぞれ α、β とすると、倍率 M は $M=\tan \beta /\tan \alpha$ と定義される。ただし、近軸近似の成り立つ範囲では M ≈ β/αとなる。距離 L としては、明視距離（慣習的に 250 mm とされる）が用いられる。

倍率は物体とレンズと目の位置関係により変化する。レンズの焦点距離 f、前側焦点から物体までの距離を x、後側焦点から目までの距離を z とすると、倍率 M は

$M={L \over f}\cdot {1 \over {1+(xz/f^{2})}}$

となる。

手持ち式のルーペの場合、主に以下のような使い方がある。

• 物体をレンズの前側焦点に置く（x = 0）。このときレンズを通した光は平行光になるので、目の位置に関わらず虚像は無限遠にあり倍率は一定で、M = L/f となる。
• 目をできるかぎりレンズに近づけ（z = -f）、かつ虚像の見かけの位置が目から L = 250 mm となるように物体を置く。このとき M = (L/f) + 1 となる。さらに物体をレンズに近づければ倍率は上がるが、実際は目の焦点があわせられる範囲で制約される。
• 目を後側焦点に置く（z = 0）。このとき倍率は一定で M = L/f となり物体の位置によらない。

商品としてのルーペには M₀ = 250/f を倍率として表示している場合と、 M = (250/f) + 1 = M₀ + 1 を表示している場合、あるいはそのいずれでもない場合（目と物体の間の距離を 250 mm としてレンズをその中間に置いたときの倍率、など）がある。

読書用ルーペなどで片面が平らな平凸レンズをもちいたものでは、倍率は表裏どちらでも同じだが、凸側を物体に向けたほうが非点収差などが小さく、見やすくなる。倍率が大きいルーペ（M₀ > 1）で両眼で観察できるほど視野を広くするには非球面レンズが必要となる。

頭に装着して用いるルーペはヘッドルーペと呼ばれ、両手を用いた細かい作業などに用いられる。