Integral calculus

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積分法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/28 02:54 UTC 版)

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表 話 編 歴

関数の定積分は、そのグラフによって囲まれる領域の符号付面積として表すことができる。

積分とは何か?（アニメーション）

積分法（せきぶんほう、英: integral calculus）は、微分法とともに微分積分学で対をなす主要な分野である。

説明での数式の書き方は広く普及しているライプニッツの記法に準ずる。

実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分（独: bestimmtes Integral、英: definite integral、仏: intégrale définie）

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

√x の 0 から 1 までの積分の近似：5個の■は右上の点を標本点として上からの評価を与え、10個の■は左上の点を標本点として下からの評価を与える。

手始めに、x = 0 から x = 1 までの間で f (x) = √x によって与えられる曲線 y = f (x) を考え、

x = 0 から x = 1 までの区間において f の下にある領域の面積はいくらか

という問いを立てて、この（未知の）面積を f の積分と呼んで

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,{\rm {d}}x$

リーマン和

実数 a 、b が a < b であるとき、区間 E = [a, b] の分割とは、

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b$

リーマン和が収斂する様子の模式図

区間 E の点付き分割 Δ* = {(E_i, ξ_i) : E_i = [x_i−1, x_i], ξ_i ∈ E_i} があたえられたとき、

$\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\delta x_{i}\quad (\delta x_{i}:=x_{i}-x_{i-1})$

ある分割に対する下ダルブー和および上ダルブー和

$s_{\Delta }=\sum _{i=0}^{n-1}m_{i}\delta x_{i},\quad S_{\Delta }=\sum _{i=0}^{n-1}M_{i}\delta x_{i}$

リーマン＝ダルブー積分（青）とルベーグ積分（赤）

リーマン積分は広い範囲の関数や応用上重要な状況（および理論的に興味深い状況）では定義されないことも多い。例えば、鉄骨の密度を積分してその質量を得ることはリーマン積分で容易に求められるが、その上に静止している鉄球にまでは適応することができない。これが動機となって、より広い範囲の関数を積分することのできる新しい定義が生み出された(Rudin 1987)。特にルベーグ積分は、重み付き和の重み付けの方に注目することによってきわめて柔軟な性質を持つに至った。

ルベーグ積分の定義は測度 μ を考えることから始まる。最も単純な場合は、区間 A = [a, b] のルベーグ測度 μ(A) を区間の幅 μ(A) ≔ b − a で定義するもので、従ってルベーグ積分は、（狭義）リーマン積分と（両者が存在する限りは）一致する。より複雑な場合には、連続性も持たず、区間とは全く類似点の無いような、高度に断片化した様々な集合も測度を測ることができる。

このような柔軟性を十分に引き出すために、ルベーグ積分は重み付き和に対してリーマン積分とは「逆」なアプローチをとる。Folland (1984, p. 56)に言わせると、「 f のリーマン積分を計算するには領域 [a, b] を小区間に分割する」が、一方ルベーグ積分は「実質的に f の値域を分割する」ものである。

よくある仕方では、まず可測集合 A の指示関数の積分の定義を

$\int 1_{\!A}\,{\rm {d}}\mu =\mu (A)$

曲面の下にある体積としての二重積分

区間以外の積分領域を考えることもできる。一般に写像 f の集合 E 上でとった積分を

$\int _{E}f(x)\,dx$

線積分は曲線に沿って元を足し合わせる

積分の概念はもっと一般の積分領域にも拡張することができる。例えば曲線や曲面を積分領域とする積分は、それぞれ線積分や面積分と呼ばれる。これらはベクトル場を扱うような物理学に応用を持つ。

線積分は曲線に沿って評価された関数の積分である。線積分にも様々なものがあり、特に閉曲線に関する線積分を周回積分などとも呼ぶ。

積分の対象となる関数はスカラー場であるかもしれないし、ベクトル場であるかもしれない。線積分の値というのは、曲線上の各点における場の値に曲線上の適当なスカラー関数（普通は弧長、あるいはベクトル場に対しては曲線における接ベクトルとの内積）を重みとして掛けたものの和である。この重み付けこそが、線積分と通常の区間上で定義される積分とを区別するものである。物理学における簡単な公式の多くは、線積分を用いることで自然に連続的な類似対応物に書き換えることができる。例えば、力学における仕事が力 F と移動距離 s との積（ベクトル量としての点乗積）

$W=\mathbf {F\cdot s}$

面積分は曲面を微小な面素に分割して足し合わせることの極限として定義される。

面積分は空間内の曲面の上で定義される定積分で、線積分の二次元的な類似物である。積分される関数はやはりスカラー場かもしれないしベクトル場かもしれない。面積分の値というのは、曲面上の各点における場の値の総和であり、曲面を面素に分割することによって得られるリーマン和の極限として構成される。

面積分の応用例としては、曲面 S 上のベクトル場 v（つまり、S の各点 x に対して v(x) がベクトル）が与えられているとき、S を通過する流体で x における流体の速度が v(x) で与えられる状況を考えればよい。流束は単位時間当たりに S を通過する流体の量として定義される。流束を求めるためには、各点で v と単位法ベクトルとの点乗積をとる必要があり、その結果得られたスカラー場を曲面上で積分した

$\int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2015年12月）

• ベルンハルト・リーマン、足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介訳『リーマン論文集』朝倉書店、2004年 ISBN 978-4-254-114607
• 猪狩惺『実解析入門』岩波書店
• 新井仁之『ルベーグ積分講義』日本評論社
• 杉浦, 光夫『解析入門I』東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。 ISBN 978-4-13-062005-5。 
• 伊藤, 清三『ルベーグ積分入門』（第46版）裳華房〈数学選書4〉、2008年。 ISBN 978-4-7853-1304-3。 
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2005), The History of Mathematics: An Introduction (6th ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5 
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, pp. 247–252, ISBN 978-0-486-67766-8, https://archive.org/details/historyofmathema027671mbp 
• Charron, Gilles; Parent, Pierre (2004), Calcul intégral manuel, Beauchemin 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), “Chapter 5: Numerical Integration”, Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
• Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6 
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231, https://books.google.co.jp/books?id=TDQJAAAAIAAJ&redir_esc=y&hl=ja 
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• Heath, T. L., ed. (2002), The Works of Archimedes, Dover, ISBN 978-0-486-42084-4, https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp 
  (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
• Hildebrandt, T. H. (1953), “Integration in abstract spaces”, Bulletin of the American Mathematical Society 59 (2): 111–139, ISSN 0273-0979, http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183517761 
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• ビラン・ドゥ・アーン:「定積分表」、現代工学社（1977年4月15日）。
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関連項目

• 微分法
• 不定積分
• 積分方程式
• ガウス求積
• 積分器
• 置換積分
• 部分積分
• 対数積分
• 微分積分学
• 解析学
• 原始関数の一覧
• 三角関数の原始関数の一覧
• 逆三角関数の原始関数の一覧
• 対数関数の原始関数の一覧
• 積の微分法則
• 商の微分法則

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Integral". mathworld.wolfram.com (英語).
• definite integral - PlanetMath.（英語）
• [1] by Khan Academy

オンライン本

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hohenwarter, Markus; Schmidtpott, Sandra. Einführung in die Integralrechnung, Online-Lehrbuch und Aufgaben
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Rudolph, Dennis, Integralrechnung, Online-Lehrbuch
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques