諸概念

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諸概念

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)

「超フィルター」の記事における「諸概念」の解説

ノルム フィルター U に対し、|| U || := min({|A| : A ∈ U}) をフィルター U のノルムという。前小項の記述から超フィルターのノルムは単項フィルターについては1、自由な超フィルターについては無限基数となることが分かる。 一様 無限基数 κ と U ∈ Ult(X) について、|| U || ≥ κ となるとき U は κ-一様 (κ-仏: uniform)な超フィルターだという、特に || U || = |X| のとき、単に U は一様な超フィルターだという。 完備 無限基数 κ とフィルター U について V ⊂ U , | V | < κ {\textstyle V\subset U,|V|<\kappa } ならば ⋂ V ∈ U {\textstyle \bigcap V\in U} が成立するとき、U は κ-完備(κ-英: complete)だという。ω1-完備のことを σ-完備ともよぶ。U ∈ Ult(X ) について以下2つの条件は互いに同値（フィルターは常に ω-完備なことに注意）。 U は κ-完備。 V ⊆ P ( X ) , ⋃ V ∈ U , | V | < κ {\textstyle V\subseteq \mathbf {P} (X),\bigcup V\in U,|V|<\kappa } ならば V ∩ U ≠ ∅ {\textstyle V\cap U\neq \varnothing } ω1-完備のことを σ-完備または可算完備とも言う。 善良 性質 自由な超フィルター U が κ-完備ならば U は κ-一様になる。 自由な超フィルター U ∈ X が可算完備ならば |X| はウラム可測基数、|X|-完備ならば |X| は可測基数（英語版）となる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:27 UTC 版)

「順序群」の記事における「諸概念」の解説

順序群 G とその正錐 G+ に対し、G が無孔 (unperforated) であるとは、適当な自然数 n に対して n⋅g ∈ G+ ならば必ず g ∈ G+ が成り立つことを言う。 無孔であることは、正錐 G+ に「隙間」("gap") がないことを意味する。 順序群の順序が全順序ならば全順序群（または線型順序群）といい、順序が束（つまり任意の二元集合が上限を持つ） ならば束群 (lattice-ordered group; ℓ-group) と呼ぶ。 リース群は束群より少し弱い性質を満たす無孔順序群である。つまり、リース群は リースの補間条件: G の任意の元 x1, x2, y1, y2 は、xi ≤ yj を満たすならば適当な z ∈ G が存在して xi ≤ z ≤ yj とすることができる を満足する。 二つの順序群 G, H に対して、写像 f: G → H が順序群の準同型であるとは、f は抽象群の準同型であってかつ単調写像となっていることを言う。順序群の全体は、順序群の準同型を射として圏を成す。 順序群（特に順序加群）は体の賦値を定義するのに用いられる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/28 18:55 UTC 版)

「可換環」の記事における「諸概念」の解説

任意の非零元が乗法的に可逆となる体の場合と対照的に、環についての理論はより複雑なものとなる。このような状況をうまく扱うために、いくつかの概念が存在する。まずは R の元 a が R の単元であるとは、a が R に乗法逆元を持つことを言う。他の特別な元は零因子で、これは非零元 a で ab = 0 を満たす非零元 b がその環の中にあるようなものである。可換環 R が零因子を持たないならば、これを整域と呼ぶ。これは様々な意味で整数の成す環に似ている。 以下に挙げる概念の多くは可換環でなくとも存在するものだが、しかし可換性を仮定しなければその定義や性質は普通より複雑なものとなる。例えば、可換環における任意のイデアルは自動的に両側イデアルとなり、状況は大幅に簡単になる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/17 01:33 UTC 版)

「ネーター環」の記事における「諸概念」の解説

ネーター環の定義において包含関係の双対をとった、降鎖条件、極小条件を満たす環をアルティン環と呼ぶ。アルティン環は一般にネーター環となり、組成列を持つ。 ネーター環の定義において、左または右からの積を加群への左または右作用に読み替え、環のイデアルを環上の部分加群と読み替えることによりネーター加群の概念を得る。左ネーター環とは自然に自身の上の左加群とみてネーター加群であるものに他ならない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:47 UTC 版)

「公約数」の記事における「諸概念」の解説

公約数の内最大のものを最大公約数という。公約数は、全て最大公約数の約数であるので、最大公約数を求めれば全ての公約数を求めることができる。前述の例で言えば、 36 と 48 と 108 との最大公約数は 12 であるので、 12 の約数をすべて求めればそれが3つの数の全ての公約数になる。 1 は全ての自然数の公約数である。 また、2つ以上の多項式について、それぞれを因数分解したときに共通に現れる因数（因子、factor）も公約数（あるいは公約元、共通因子、common factor など）と呼ぶ。例えば、 ( x + 1 ) 2 と x 2 − 1 について、 x + 1 は公約数である。 最大公約数が 1 であるような2つの整数の組は、互いに素であるという。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/18 02:44 UTC 版)

「報道写真」の記事における「諸概念」の解説

日本語の「報道写真」にあたるような使い方をされている外国語はいくつかあるが、おおむね、次のような使い分けがなされている。 (1) フォトジャーナリズム（フォトジャーナリスト） (photojournalism) 「報道写真」と対照すべき最も一般的な用語であるが、「写真」ではなく「報道」の一規定と捉える点に大きな違いがある。(2)以下と比較して、新聞や雑誌などに掲載される、ある事実の瞬間を捕らえた、ニュース性（事件性・スクープ性）のある1枚ものの写真を意味することが多い。 なお、報道写真家にあたる言葉は、フォトジャーナリストである。また、「ジャーナリズムフォト」とはいわない。 (2) ドキュメンタリーフォト・フォトドキュメンタリー (documentary photo/photo documentary) 上記 (1) に比べて、ある程度の枚数の写真によって、ある種のストーリーを語らせるような、作品を意味することが多い。ニュース性（事件性・スクープ性）がある場合も、ない場合もある。ある種の主張を含んでいる場合も、淡々と事実のみを伝える場合もある。 最近はほとんど使われないが、日本語では、以下の (3)(4) も含めて、「組写真」と呼ばれることもある。 (3) フォト・ルポルタージュ、ルポルタージュ・フォト (photo reportage/reportage photo) そもそも「報道写真」という日本語は、この「フォト・ルポルタージュ」が分かりにくいと写真家の名取洋之助に言われて、写真評論家の伊奈信男が作った訳語である。上記 (2) と近い意味もあるが、より、現地報告的な色彩（記録性）が強い作品（探訪記のようなもの）を意味する。ニュース性（事件性・スクープ性）はうすまり、一方で、主張よりも事実を前面に押し出す傾向が強いかもしれない。 (4) フォト・エッセイ (photo essay) 上記 (2) を、より厚く、深くしたような作品を意味することが多い。したがって、事件性が欠けることが多く、むしろ、社会的な問題を浮き彫りにしているような作品やある種の主張を含んでいる作品が多いと思われる。写真の枚数も、上記 (2)(3) よりも多くなることが予想され、新聞では、到底対応しきれないと予想される。 例えば、Life誌に掲載された、ユージン・スミスの「カントリー・ドクター」のような作品は、フォト・エッセイと呼ばれることが多い。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 02:02 UTC 版)

「二項演算」の記事における「諸概念」の解説

1 つまたは複数の二項演算に結合律、可換律あるいは分配律などといった条件が成立するかどうかを考えることで、二項演算やそれらの関係を分類することができる。このような条件の課された二項演算の存在性は半群や環、アーベル群など、様々な代数的構造において必要な要件として与えられる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/15 09:36 UTC 版)

「可換体」の記事における「諸概念」の解説

「体論用語一覧」も参照 体 K が与えられたとき、その乗法構造を忘れて加法に関するアーベル群とみたときの代数系 (K, +) を体 K の加法群と呼ぶ。加法群を K+ や Ga(K) と記す場合もある。また乗法構造のみに注目して、0 を除く K の元の全体 K* に乗法を与えて得られる代数系 (K*, ×) は群であり、乗法群と呼ばれる。K の乗法群をしばしば K× とも記し、Gm(K) と記されることもある。体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。 体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダバーンの小定理）。 n1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。 体は 0 以外の元が全て可逆となる単位的環である。したがって、そのイデアルや部分環の概念を考えることができるが、体は自明でないイデアルを持たない（これを体は単純環であるという）。体の単位的環としての部分環がふたたび体をなすとき、部分体という。 体 K, L とその間の写像 f: K → L が与えられたとき、f が体の準同型であるとは、単位的環としての準同型であることをいう。つまり、体準同型 f は K の任意の元 a, b および、K, L それぞれの単位元 1K, 1L に対して f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) f ( 1 K ) = 1 L を全て満たす。また、その像 Im(f) = {f(x) | x ∈ K} は L の部分体となり、核 Ker(f) = {x ∈ K | f(x) = 0L} は K のイデアルとなるが、体が単純環であることと単位元が零元にうつることはないことから、体の準同型は必ず単射になる。したがって、体の準同型 f: K → L の像 Im(f) は K に体として同型である。これを中への同型とよび、さらに f が全射であるとき上への同型であるという。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 04:33 UTC 版)

「斜体 (数学)」の記事における「諸概念」の解説

「体論用語一覧」も参照 体 K が与えられたとき、その乗法構造を忘れて加法に関するアーベル群とみたときの代数系 (K, +) を体 K の加法群と呼ぶ。加法群を K+ や Ga(K) と記す場合もある。また乗法構造のみに注目して、0 を除く K の元の全体 K* に乗法を与えて得られる代数系 (K*, ×) は群であり、乗法群と呼ばれる。K の乗法群をしばしば K× や Gm(K) またはときに GL1(K) と記されることもある。体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。 体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダーバーンの小定理）。 n⋅1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n⋅1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。 体は 0 以外の元が全て可逆となる単位的環である。したがって、そのイデアルや部分環の概念を考えることができるが、体は自明でない両側イデアルを持たない（これを体は単純環であるという）。体の単位的環としての部分環がふたたび体をなすとき、部分体という。 体 K, L とその間の写像 f: K → L が与えられたとき、f が体の準同型であるとは、単位的環準同型であることをいう。その像 Im(f) = {f(x) | x ∈ K} は L の部分体となり、核 Ker(f) = {x ∈ K | f(x) = 0L} は K の両側イデアルとなるが、体が単純環であることと単位元が零元にうつることはないことから、体の準同型は必ず単射になる。したがって、体の準同型 f: K → L の像 Im(f) は K に体として同型である。これを中への同型とよび、さらに f が全射であるとき上への同型であるという。