基本定理とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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基本定理（「NKS」第9章）

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/01 15:22 UTC 版)

物理学の基本定理に対する方向についてのウルフラムの意見は、曖昧で古いという批判を受けている。マサチューセッツ工科大学の電気工学・コンピュータサイエンス助教であるスコット・アーロンソンは、ウルフラムのメソッドが, 特殊相対性理論とベル定理の違反とは適合しないので、ベルの実験の結果を説明することが出来ないと指摘する。エドワード・フレドキンとコンラート・ツーゼは、計算可能な世界についてのアイディアの先駆者である。ツーゼは、著作の中で、世界がいかにセルラーオートマトンのようなものであるかについて触れ、フレドキンは、Saltと呼ばれるおもちゃのモデルを使ってこのアイディアをさらに発展させた。「NKS」はこれらのアイディアを自分のものとして紹介しているという指摘がなされている。ユルゲン・シュミットフーバーは、チューリングマシンで計算可能な物理学についての自分の功績、つまりチューリングで計算可能な世界の可能なものを列挙する自分のアイディアが帰属なしに盗まれたと非難している。 2002年に「NKS」の論評の中で、ノーベル物理学者スティーヴン・ワインバーグは、「ウルフラムは昔、素粒子物理学者であったので、デジタルコンピュータプログラムにおける自分の経験を自然の法則に応用せずにはいられないのだと思う。このことが、自然が連続的ではなく離散的であるという考え方（リチャード・ファインマンも1981年に論文の中でこれを考慮した）に彼を導いたのだろう。ウルフラムは、セルラーオートマトンのセルのように、宇宙が孤立した点の集合からなるもので、時間でさえも離散的なステップで流れると提案している。エドワード・フレドキンのアイディアをもとに、ウルフラムは宇宙自体が巨大コンピュータのようにオートマトンであると結論づける。これは可能であるが、ウルフラムたちがコンピュータを使って慣れ親しんでいるようなシステムであるということ以外には、これらの推論に私は意味を見出すことはできない。これは、大工が月を見て、木でできていると推論するようなものだ」と書いている。ヘーラルト・トホーフトによると、ボゾン弦理論と超弦理論はどちらも、格子の長さが 2 π α ′ {\displaystyle 2\pi {\sqrt {\alpha '}}} である時空の格子で定義される，状態の特別な基盤について再公式化することができる。この格子についての進化方程式は古典的なものであり、これが超弦理論をセルラーオートマトンで解釈することを可能にしている。

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基本定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:12 UTC 版)

「モース理論」の記事における「基本定理」の解説

多様体 M 上の滑らかな実数値函数は、退化した臨界点を持たないとき、モース函数(Morse function)という。モース理論の基本的結果から、ほとんどすべての函数はモース函数であることが言える。テクニカルには、モース函数の集合は、 C2 位相ですべての滑らかな函数 M → R の集合の稠密な開部分集合をなすということである。このことは、「典型的な函数はモース函数である」、あるいは、「ジェネリック（英語版）(generic)な函数はモース函数である」ということもある。このことを示す前に、Ma = f −1(−∞, a] のトポロジーが a の変化につれて、いつ変化するのかという問題に興味が湧く。この問題の答えの半分は次の定理によって与えられる。定理： f を M 上の滑らかな実数値函数、a < b、f−1[a, b] はコンパクトで、a と b の間には臨界値が存在しないとすると、Ma は Mb は微分同相であり、Mb は Ma 上に連続縮小（英語版）(deformation retract)である。この定理は、a が臨界点を通過したとき、Ma のトポロジーがどのように変化するのかを知るためも興味がもたれる。次の定理はこの問いに対する答えである。定理： f を M 上の滑らかな実数値函数、p を指数 γ である f の非退化臨界点とし、f(p) = q とする。f−1[q−ε, q+ε] はコンパクトで、p の近くには臨界点がないとすると、Mq +ε は γ-cell をもつ Mq−ε にホモトピー同値である。これらの結果は前のセクションで述べた「ルール」を一般化し、定式化する。すでに述べたように、ルールは正しいとは言えないが、これらの定理が正しく定式化している。 2つの結果と任意の微分可能多様体上のモース函数が存在するという事実を使い、任意の微分可能多様体は指数 n の臨界点の各に対し、n-cell をもつCW複体であるということを証明することができる。証明するためには、各々の臨界レベルにひとつの臨界点を持つように整列させることができるというテクニカルな事実を必要とする。このテクニックは普通は臨界点を再整列させるため勾配的ベクトル場（英語版）(gradient-like vector field)を使い証明することができる。

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基本定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/27 10:15 UTC 版)

「同変K理論」の記事における「基本定理」の解説

X を同変代数的スキームとする。局所化定理 ― 同変代数的スキームの閉埋め込み Z ↪ X {\displaystyle Z\hookrightarrow X} を開埋め込み Z − U ↪ X {\displaystyle Z-U\hookrightarrow X} が与えられると、次の群の長完全系列が存在する。 ⋯ → K i G ( Z ) → K i G ( X ) → K i G ( U ) → K i − 1 G ( Z ) → … {\displaystyle \dots \to K_{i}^{G}(Z)\to K_{i}^{G}(X)\to K_{i}^{G}(U)\to K_{i-1}^{G}(Z)\to \dots }

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基本定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 09:24 UTC 版)

「次元論 (代数学)」の記事における「基本定理」の解説

( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、I を m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアル（すなわち m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} のあるベキと m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の間にある）とする。 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を associated graded ring gr I ⁡ R = ⊕ 0 ∞ I n / I n + 1 {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}} のポワンカレ級数とする。つまり、 F ( t ) = ∑ 0 ∞ ℓ ( I n / I n + 1 ) t n {\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}} ただし ℓ {\displaystyle \ell } は（アルティン環 ( gr I ⁡ R ) 0 = R / I {\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I} 上の）加群の長さを意味する。 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} が I を生成するとすれば、それらの I / I 2 {\displaystyle I/I^{2}} における像は次数 1 をもち gr I ⁡ R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} を R / I {\displaystyle R/I} -多元環として生成する。ヒルベルト・セールの定理によって、F は位数 d ≤ s {\displaystyle d\leq s} の極を t = 1 {\displaystyle t=1} にちょうど1つもつ有理関数である。 ( 1 − t ) − d = ∑ 0 ∞ ( d − 1 + j d − 1 ) t j {\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1 +j}{d-1}}t^{j}} , であるので、 F ( t ) = ( 1 − t ) d F ( t ) ( 1 − t ) − d {\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}} における t n {\displaystyle t^{n}} の係数は ∑ 0 N a k ( d − 1 + n − k d − 1 ) = ( 1 − t ) d F ( t ) | t = 1 n d − 1 d − 1 ! + O ( n d − 2 ) {\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t)|_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2})} の形であることがわかる。つまり、 ℓ ( I n / I n + 1 ) {\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})} は n の次数 d − 1 {\displaystyle d-1} の多項式 P {\displaystyle P} である。P は gr I ⁡ R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} のヒルベルト多項式と呼ばれる。 d ( R ) = d {\displaystyle d(R)=d} とおく。また、 δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} を R の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアルを生成できる、R の元の最小個数とする。我々の目標は次の基本定理を証明することである。 δ ( R ) = d ( R ) = dim ⁡ R {\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R} s を δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} であるようにとることができるから、既に上記から δ ( R ) ≥ d ( R ) {\displaystyle \delta (R)\geq d(R)} である。次に d ( R ) ≥ dim ⁡ R {\displaystyle d(R)\geq \operatorname {dim} R} を d ( R ) {\displaystyle d(R)} についての帰納法で証明する。 p 0 ⊊ ⋯ ⊊ p m {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}} を R の素イデアルの列とする。 D = R / p 0 {\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}} とし、x を 0 でも単元でもない D の元とする。x は零因子でないので、完全列 0 → D → x D → D / x D → 0 {\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0} がある。さて、Hilbert-Samuel 多項式の次数のboundによって d ( D ) > d ( D / x D ) ≥ d ( R / p 1 ) {\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})} である。（これは本質的にアルティン・リースの補題から従う。ステートメントと証明はヒルベルト・サミュエル関数を参照。） R / p 1 {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}} において、列 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} は長さ m − 1 {\displaystyle m-1} の列になり、したがって、帰納法の仮定と再び次数の評価によって、 m − 1 ≤ dim ⁡ ( R / p 1 ) ≤ d ( R / p 1 ) ≤ d ( D ) − 1 ≤ d ( R ) − 1 {\displaystyle m-1\leq \operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1} である。主張が従う。 dim ⁡ R ≥ δ ( R ) {\displaystyle \operatorname {dim} R\geq \delta (R)} を示すことが残っている。正確には、次のことを示す。補題: R は、任意の i に対して ( x 1 , … , x i ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})} を含む任意の素イデアルの高さは ≥ i {\displaystyle \geq i} であるような元 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} を含む。（注意：このとき ( x 1 , … , x s ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{s})} は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素である。）証明は省略する。例えば、Atiyah–MacDonald に証明がある。しかし証明は個人でもできる。アイデアは prime avoidance を使うことだ。