Numerical linear algebraとは? わかりやすく解説

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数値線形代数

(Numerical linear algebra から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/02/21 09:59 UTC 版)

数値解析における数値線形代数(すうちせんけいだいすう、: Numerical linear algebra)とは、線形代数で現れる問題(行列積行列指数関数連立方程式固有値特異値問題)の計算・求解を行うアルゴリズムを創出するための学問である[1][2][3]最適化問題有限差分法有限要素法などに応用されている[1]

意義

どんなに次元の高い連立方程式でも、原理的にはクラメルの公式を使えば解くことはできる。しかし、クラメルの公式による数値解法ではものすごく時間がかかってしまうということが分かっている[1]。このため、これまで様々な数値線形代数のアルゴリズムが開発されてきた[1][2][3]ガウスの消去法はその先駆けとも言える[1][2][3]

現代の主流

現代においては

などをはじめとした高速・高精度解法(反復法)の研究が主流になっている[2][4][5]

クリロフ部分空間法

数値線形代数で現れる反復法の中には、クリロフ部分空間に理論的基盤を持つものが少なからず存在する。これらはクリロフ部分空間法(: Krylov subspace methodsと総称され、数値線形代数において最も成功した手法とされている[5]。主なクリロフ部分空間法として以下が知られている(共役勾配法については後述する)。

共役勾配法

共役勾配法: conjugate gradient method)は Hestenes-Stiefel によって開発された連立方程式の数値解法であり、係数行列が正定値対称行列であるときに適用できる[A 31]。この方法はガウス=ザイデル法ヤコビ法SOR法よりも収束が速いとされることから、1980年代以降から様々な亜種が開発されたり、非対称行列への適用が試みられているが、前処理行列の取り方が問題によって異なるために決定版と言える解法がまだ存在してない[1][2][5]

以下、代表的な亜種を挙げる。




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