定理の内容
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「ガウス＝マルコフの定理」の記事における「定理の内容」の解説
最小二乗推定量 β ^ {\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\beta }}}} は最良線形不偏推定量になる。つまり任意の線形不偏推定量 β ~ {\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}} に対して Cov [ β ~ ] ⪰ Cov [ β ^ ] {\displaystyle \operatorname {Cov} \left[{\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}\right]\succeq \operatorname {Cov} \left[{\widehat {\boldsymbol {\beta }}}\right]} が成立する。
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定理の内容
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「レリッヒ＝コンドラショフの定理」の記事における「定理の内容」の解説
Ω ⊆ Rn を開かつ有界なリプシッツ領域とし、1 ≤ p < n に対して p ∗ := n p n − p {\displaystyle p^{*}:={\frac {np}{n-p}}} W 1 , p ( Ω ) ↪ L p ∗ ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega )} W 1 , p ( Ω ) ⊂⊂ L q ( Ω ) for 1 ≤ q < p ∗ {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega ){\mbox{ for }}1\leq q<p^{*}} となる。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/12 19:28 UTC 版)
A をバナッハ空間 X の線形部分空間 D(A) 上で定義される線形作用素とし、ω を実数とし、M > 0 とする。このとき、A が、 ∥ T ( t ) ∥ ≤ M e ω t {\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{\omega t}} を満たすような強連続半群 T を生成するための必要十分条件は D(A) が X において稠密であること、および λ > ω を満たすようなすべての実数 λ が A のレゾルベント集合に含まれ、そのような λ とすべての正の整数 n に対し ∥ ( λ I − A ) − n ∥ ≤ M ( λ − ω ) n {\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-n}\|\leq {\frac {M}{(\lambda -\omega )^{n}}}} が成立すること、である。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/14 08:07 UTC 版)
具体的には以下の通りである（Sternberg (1964, Theorem II.3.1)、Sard (1942)）。 「関数 f : Rn → RmはCk級で（つまり、f はk回連続微分可能で）、k は k ≧ max { n - m + 1, 1} をみたすとする。また、f の臨界点（つまり、Rn上の点 x のうち、点 x における f のヤコビアンの階数が m より真に小さいような点 x）全体の集合を X とかくものとする。このとき、X の像 f ( X ) のRm におけるルベーグ測度は、0 である。」 これは、直感的に言えば、集合 X が大きな集合であっても、その像はルベーグ測度の意味で大変小さいということである。f には、定義域 Rn上の「臨界点」はたくさん存在するのかもしれないが、終域 Rm 上の「臨界値」は少数しか存在しないということである。 そして一般に、上記の内容は m 次元の第二可算な微分可能多様体 M から n 次元の第二可算な微分可能多様体 N への写像について成り立つ。ただし、Ck 級関数 f : N → M の臨界点とは、点 x における f の微分 df : TN → TM の線形変換としての階数が m より真に小さいような点 x のことである。このような点 x 全体の集合を X とするとき、サードの定理によれば、k ≧ max { n - m + 1, 1 } のとき X の f による像が M の部分集合として測度 0 であるというのである。 このことは、ユークリッド空間についてのサードの定理をもとに、多様体に可算個の局所座標空間の貼りあわせを考えることによって導かれる。なぜならば、「測度 0 の集合の可算個の和集合は測度 0 である」ことと、局所座標空間の部分集合について「測度 0 であるという性質は、微分同相によっても変わらない」ということから、それぞれの局所座標において議論すればすむからである。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/17 03:20 UTC 版)
G が代数的閉体 k 上の空でない完備（英語版）代数多様体 V について正則に作用する連結可解代数群であるなら、V の G 不動点が存在する。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/24 02:06 UTC 版)
「クレイン・ルトマンの定理」の記事における「定理の内容」の解説
X をバナッハ空間とし、その部分集合 K (⊂X) を、K-K が空間 X において稠密であるような凸錐とする。T:X→X を、ゼロでない正の（すなわち T(K)⊂K が成立する）コンパクト作用素とし、そのスペクトル半径 r(T) は正であるとする。 この時、そのスペクトル半径 r(T) は作用素 T の固有値であり、それに対応する正の固有ベクトルが存在する。すなわち T(u)=r(T)u を満たすような u∈K\0 が存在する。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/16 07:25 UTC 版)
Gを無限個の点からなる連結グラフで全ての点の次数は有限（すなわちどの点も他の有限個の点としか接続していない）とする。 このとき、Gは無限長の単純道（同じ点を2度通らない道）を持つ。 木に対して制限したバージョンがこの定理の特殊な例としてよく知られている。 次数は有限である必要があるが有界である必要はないことに注意。すなわち各点の次数が10,100,1000…という増加列を構成していてもよい。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/31 17:17 UTC 版)
量子統計力学において、スピン統計定理とは以下の内容をいう。 1粒子状態の占有数 n ν {\displaystyle n_{\nu }} の取りうる値は n ν = 0 , 1 {\displaystyle \quad n_{\nu }=0,1\ } n ν = 0 , 1 , 2 , ⋯ {\displaystyle \quad n_{\nu }=0,1,2,\cdots \ } のいずれかに限られる。粒子のスピンの大きさは，前者の場合は ℏ {\displaystyle \hbar \ } の半奇数（奇数の1/2倍）倍で，後者の場合は ℏ {\displaystyle \hbar \ } の整数倍である。 n ν = 0 , 1 {\displaystyle n_{\nu }=0,1\ } となることをフェルミ統計（フェルミ-ディラック統計）と呼び，それに従う粒子をフェルミ粒子(fermion) と呼ぶ。 n ν = 0 , 1 , 2 , ⋯ {\displaystyle n_{\nu }=0,1,2,\cdots \ } となることをボーズ統計（ボーズ-アインシュタイン統計）と呼び，それに従う粒子をボーズ粒子(boson) と呼ぶ． フェルミ粒子の場合、それぞれの１粒子状態は１つの粒子によって占有されている n ν = 1 {\displaystyle n_{\nu }=1\ } か、まったく占有されていない n ν = 0 {\displaystyle n_{\nu }=0\ } かのどちらかである。これをパウリの排他原理と呼ぶ。
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定理の内容
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「フェンシェル＝モローの定理」の記事における「定理の内容」の解説
( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} をハウスドルフ局所凸空間とする。任意の拡大実数値函数 f : X → R ∪ { ± ∞ } {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} に対し、 f = f ∗ ∗ {\displaystyle f=f^{**}} が成立するための必要十分条件は、次のいずれかの条件が成立することである。 f {\displaystyle f} は下半連続な真凸函数 f ≡ + ∞ {\displaystyle f\equiv +\infty } f ≡ − ∞ {\displaystyle f\equiv -\infty }
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定理の内容
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「リース＝ソリンの定理」の記事における「定理の内容」の解説
リース＝ソリンの補間定理を述べる上でいくつかの方法がある：前節での記号を利用するために、ここでは加法的和集合を用いた方式を採用する。 リース＝ソリンの補間定理 (Ω1, Σ1, μ1) および (Ω2, Σ2, μ2) を σ-有限測度空間とする。1 ≤ p0 ≤ p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 ≤ q1 ≤ ∞ とし、T : Lp0(μ1) + Lp1(μ1) → Lq0(μ2) + Lq1(μ2) を Lp0(μ1)（Lp1(μ1)）から Lq0(μ2)（Lq1(μ2)）への有界線型作用素とする。また 0 < θ < 1 に対し、pθ, qθ を前節のように定義する。このとき T は Lpθ(μ1) から Lqθ(μ2) への有界作用素であり、作用素ノルムに関する次の不等式を満たす： ‖ T ‖ L p θ → L q θ ≤ ‖ T ‖ L p 0 → L q 0 1 − θ ‖ T ‖ L p 1 → L q 1 θ . {\displaystyle \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }.} 言い換えると、T が (p0, q0)-型かつ (p1, q1)-型であるなら、T はすべての 0 < θ < 1 に対して (pθ, qθ)-型ということになる。このため、この補間定理は絵を用いて表現することが出来る。実際 T のリース図（Riesz diagram）は、単位正方形 [0, 1] × [0, 1] 内の点 (1/p、1/q) で T が (p, q)-型であるようなものすべての集合として描かれる。補間定理は、T のリース図が凸集合であることを述べている。すなわち、リース図内の与えられた二点に対して、それらを結ぶ線分もまたその図に含まれる。 この補間定理は、元々リース・マルツェルによって1927年に証明された。その1927年の論文では、リース図の下半分の三角形、すなわち、p0 ≤ q0 かつ p1 ≤ q1 が成り立つ部分においてのみ証明が与えられた。オロフ・ソリン（英語版）はその残りの部分も含めた正方形全体に対して補間定理を拡張した。ソリンの証明は元々1938年に出版され、1948年の彼の学位論文で拡張された。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/21 15:48 UTC 版)
U を実数直線のある開部分集合とし、fn : U → R, n ∈ N を函数列とする。次を仮定する。 (fn) は U にコンパクトに埋め込まれる任意の W 上の一様有界全変動（英語版）とする。すなわち、コンパクトな閉包を持つすべての集合 W ⊆ U に対して sup n ∈ N ( ‖ f n ‖ L 1 ( W ) + ‖ d f n d t ‖ L 1 ( W ) ) < + ∞ , {\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\left(\left\|f_{n}\right\|_{L^{1}(W)}+\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\right)<+\infty ,} が成り立つ。ここで微分は緩増加超函数の意味で取られる； (fn) はある点において一様有界である。すなわち、ある t ∈ U に対して { fn(t) | n ∈ N } ⊆ R は有界である。 このとき、fn のある部分列 fnk, k ∈ N と、局所的に有界変動であるような函数 f : U → R が存在して、次が成立する。 fnk は f に各点収束する； fnk は L1 において局所的に f に収束する（局所可積分函数を参照）。すなわち、U 内のすべてのコンパクトな埋め込み W に対して次が成り立つ。 lim k → ∞ ∫ W | f n k ( x ) − f ( x ) | d x = 0 ; {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{W}{\big |}f_{n_{k}}(x)-f(x){\big |}\,\mathrm {d} x=0;} また U 内のコンパクトな埋め込み W に対して、次が成り立つ。 ‖ d f d t ‖ L 1 ( W ) ≤ lim inf k → ∞ ‖ d f n k d t ‖ L 1 ( W ) . {\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\leq \liminf _{k\to \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}.}
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 08:58 UTC 版)
「ゲルファント＝マズールの定理」の記事における「定理の内容」の解説
単位元I を持つ複素バナッハ環A において、A が体、すなわち0を除くすべての元が可逆であるとする。このとき、A は複素数体Cと等距離同型である。 定理の証明は、作用素論の基本的な結果に基づく。任意のa ∈Aに対し、スペクトルσ(a )は空集合でないことから、a -λ Iが非可逆となるλ ∈Cが存在する。一方、仮定により、0を除く全ての元が可逆であることから、a =λI となる。このとき対応a ↦ λが同型を定める。 なお、A が実数体を係数体とする実バナッハ環の場合には、A は実数体、複素数体、または四元数体と同型になる。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 10:58 UTC 版)
{fn} を測度空間 (S, Σ, μ) 上の実数値可測関数の列とする。この列はある関数 f に各点収束し、次に述べる意味である可積分関数 g によって支配されるものとする：|fn(x)| ≤ g(x) が、すべての添え字 n および S 内のすべての点 x に対して成り立つ。このとき f は可積分であり、 lim n → ∞ ∫ S | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0} が成り立つ。これはまた lim n → ∞ ∫ S f n d μ = ∫ S f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu } であることも意味する。 注意: 「g が可積分である」というステートメントはルベーグ積分の意味においてである。すなわち、 ∫ S | g | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{S}|g|\,d\mu <\infty } となることである。 関数列の収束と g による支配という条件は、次の仮定の下で、（μ に関して）ほとんど至る所成立すれば良いという様に緩められる：測度空間 (S, Σ, μ) は完備であるか、あるいは、f はほとんど至る所で存在する各点極限とほとんど至る所一致する可測関数である。（これらの条件が必要である理由は、そうでないと零集合 N ∈ Σ の非可測部分集合（英語版）が存在して f が非可測となりうるからである）。 μ(S) < ∞ のとき、支配的な可積分関数 g が存在するという条件は、関数列 {fn} が一様可積分であるという条件に緩めることが出来る（ヴィタリの収束定理を参照）。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 00:02 UTC 版)
Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} を集合 X {\displaystyle X} の部分集合の有限加法族とする。関数 μ 0 : Σ 0 → R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mu _{0}\colon \Sigma _{0}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}} は有限加法的であるとする。すなわち μ 0 ( ⋃ n = 1 N A n ) = ∑ n = 1 N μ 0 ( A n ) {\displaystyle \mu _{0}{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{N}A_{n}{\bigr )}=\sum \limits _{n=1}^{N}\mu _{0}(A_{n})} が Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 内の任意の有限個の互いに素な集合 A 1 , A 2 , … , A N {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}} に対して成り立つものとする。 また、この関数はより強いσ-加法性も満たすものとする。すなわち、 μ 0 ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ μ 0 ( A n ) {\displaystyle \mu _{0}{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}{\bigr )}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})} が、 ∪ n = 1 ∞ A n ∈ Σ 0 {\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Sigma _{0}} を満たす Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 内の任意の互いに素な集合列 ( A n ) n ∈ N {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} に対して成り立つものとする（これらの2つの性質を満たす関数 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は前測度として知られている）。このとき μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} により生成されるσ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } 上で定義されるある測度へと拡張される。すなわち、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} への制限が μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} と一致するようなある測度 μ : Σ → R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}} が存在する。 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} が σ-有限であるなら、この拡張は一意である。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/12 06:05 UTC 版)
以下、記号「 ∼ {\displaystyle \sim } 」は次を表すとする。 任意の関数 f ( x ) ( ≠ 0 ) , g ( x ) {\displaystyle f(x)(\neq 0),g(x)} に対し、 f ( x ) ∼ g ( x ) :⇔ lim x → ∞ g ( x ) f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)\sim g(x):\Leftrightarrow \lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{f(x)}}=1} なお、上式が成立している場合、「xが充分大きい場合、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は g ( x ) {\displaystyle g(x)} で近似できる」といえる。 素数定理は、具体的には次の式で表される。 π ( x ) ∼ Li x {\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} x} 上式において、π(x) は素数計数関数 (prime counting function) で、x 以下の素数の個数を表す。また Li x は補正対数積分 (logarithmic integral) で、次の積分で定義される。 Li x := ∫ 2 x d t ln t {\displaystyle \operatorname {Li} x:=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}} なお、この定理は1や2以外の正数を積分の下端とする場合にも成立するが、慣例的に最小の素数である 2 とすること(補正対数積分)が多い。 また、補正対数積分を1回部分積分すると、 ∫ 2 x d t ln t = x ln x + O ( x ( ln x ) 2 ) {\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}={\frac {x}{\ln x}}+O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right)} となる。ここで、 O はランダウの記号である。このことから、定理を次のように述べることもできる。 π ( x ) ∼ x ln x {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}} これは同様にx / ln x で近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪いが計算上扱い易い。さらに次のように変形した式は、π(x) / x すなわちx 以下の正整数に占める素数の割合の近似式を表す。 π ( x ) x ∼ 1 ln x {\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x}}\sim {\frac {1}{\ln x}}} 上の2通りの近似はx が小さくても比較的正確である（以下の表を参照）。 また、n 番目の素数を pn とすると、n ≥ 6 に対して n ( ln n + ln ( ln n ) − 1 ) < p n < n ( ln n + ln ( ln n ) ) {\displaystyle n(\ln n+\ln(\ln n)-1)<p_{n}<n(\ln n+\ln(\ln n))} が成り立つ。（ピエール・デザルト）
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:04 UTC 版)
「レリッヒ＝ディキシミエの定理」の記事における「定理の内容」の解説
(P, Q) を可分なヒルベルト空間 H における閉対称作用素の組とする。このとき、(P, Q) がシュレディンガー表現の直和表現とユニタリ同値であることと、次の条件は同値である。 定義域の共通部分 D(P) ∩ D(Q) に含まれる、H の稠密な部分空間 D で、以下を満たすものが存在する。 D は P, Q の作用に対し、不変 (P D ⊂ D, Q D ⊂ D) である。 P2 + Q2は D 上で本質的に自己共役である。 D 上で、P, Q は正準交換関係を満たす。 特に、この条件1.-3.が満たされるとき、P, Q は自己共役作用素であるともに、D への制限は本質的に自己共役となる。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/13 13:39 UTC 版)
「クネーザーの定理 (微分方程式)」の記事における「定理の内容」の解説
次の形状の線型同次常微分方程式を考える。 y ″ + q ( x ) y = 0. {\displaystyle y''+q(x)y=0.\,} ただし q : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle q:[0,+\infty )\to \mathbb {R} } は連続関数である。この方程式は、無限個の零点を伴う解 y を持つとき振動的（oscillating）と言われ、そうでない場合は非振動的（non-oscillating）と言われる。 クネーザーの定理では、この方程式が非振動的であるための十分条件は lim sup x → + ∞ x 2 q ( x ) < 1 4 {\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)<{\tfrac {1}{4}}} であり、振動的であるための十分条件は lim inf x → + ∞ x 2 q ( x )> 1 4 {\displaystyle \liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)>{\tfrac {1}{4}}} であることが述べられている。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/16 13:47 UTC 版)
「ハートマン＝グロブマンの定理」の記事における「定理の内容」の解説
離散版 微分同相写像 f : R n → R n {\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}} に対し、x がヤコビ行列Df の固有値の絶対値が全て1ではない双曲的な不動点とする。このとき、xの近傍U と同相写像h で h ( f ( ξ ) ) = D f ( x ¯ ) h ( ξ ) ∀ ξ ∈ U h : R n → R n {\displaystyle {\begin{aligned}&h(f(\xi ))=Df({\bar {x}})h(\xi )\quad \forall \xi \in U\\&h:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\end{aligned}}} を満たすものが存在する。すなわち、x の近傍でf とDf は局所的に位相共役である。 連続版 微分方程式 d x d t = g ( x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=g(x)} で記述される連続力学系において、その流れをφtとする。xが、ヤコビ行列の固有値の実部が全て0ではない双曲型不動点であるとする。このとき、xのある近傍U が存在し、U においてφtと線形化した方程式 d ξ d t = D g ( x ¯ ) ξ ( ξ = x − x ¯ ) {\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}=Dg({\bar {x}})\xi \quad (\xi =x-{\bar {x}})} が定める流れ e t D g ( x ¯ ) {\displaystyle e^{tDg({\bar {x}})}} は局所的に位相共役となる。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:35 UTC 版)
「ポアンカレ・ホップの定理」の記事における「定理の内容」の解説
M を次元 n の微分可能多様体とし、v を M 上のベクトル場とする。x を v の孤立した零点とし、x 付近の局所座標を固定する。x に中心をもつ閉球体 D を、D の中で x が v の唯一の零点となるように取る。このとき x における v の指数 indexx(v) を、u(z)=v(z)/| v(z) | で与えられる D の境界から (n−1) 次元球面への写像 u:∂D→Sn-1 の次数として定義する。 定理： M をコンパクトで向き付けられた微分可能多様体とする。v は孤立零点のみをもつ M 上のベクトル場とする。M が境界を持つ場合は、v が境界上で外向きであることを仮定する。このとき、次の公式が成り立つ。 ∑ i index x i ( v ) = χ ( M ) . {\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\ .} ここで指数の和は v のすべての（孤立した）零点をわたる。 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} は M のオイラー標数である。 この定理は、まず2次元の場合にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)が証明し、その後ハインツ・ホップ（英語版）(Heinz Hopf)が高次元へ一般化した。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/01 07:50 UTC 版)
「マイヒル–ネローデの定理」の記事における「定理の内容」の解説
ある言語 L について、その文字列についての関係 RL を次のように定義する。すなわち x RL y という関係は、文字列 xz と yz のいずれか一方しか L に含まれないというような文字列 z が存在しない。RL が文字列の同値関係であることは容易に示され、従って全ての有限文字列は1つ以上の同値類に分類される。 マイヒル–ネローデの定理は、L を受容する最小オートマトンの状態数が RL の同値類の数と等しいとする。直観的には、そのような最小オートマトンで同じ状態に到達する文字列 x と y は、同じ同値類に属することを意味する。そして、文字列群を同値類に分類していけば、同値類毎に状態を設定することで容易にオートマトンを構築できる。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/01 06:46 UTC 版)
級数∑ anはアーベル総和可能、すなわち、収束半径1のベキ級数f(x)= ∑∞n=0 anxnがx → 1 −でf(x) →lを満たすとする。このとき、条件 (T0) lim n → ∞ 1 n ∑ k = 0 n k a k → 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}k{a_{k}}\to 0} が満たされるならば、 ∑ n = 0 ∞ a n = l {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}=l} が成り立つ。この定理をタウバーの定理という。条件(T0)は、 (T'0) lim n → ∞ n a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }na_{n}=0} に置き換えてもよい。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/05 19:17 UTC 版)
( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} を正の測度空間とする。もし μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} は一様可積分 f n ( x ) → f ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)} a.e. as n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } | f ( x ) | < ∞ {\displaystyle |f(x)|<\infty } a.e. が満たされるなら、次が成立する: f ∈ L 1 ( μ ) {\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )} lim n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0} .
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/27 02:29 UTC 版)
M {\displaystyle M} を境界 ∂ M {\displaystyle \partial M} を持つコンパクトな 2-次元リーマン多様体とする。 K {\displaystyle K} を M {\displaystyle M} のガウス曲率とし、 k g {\displaystyle k_{g}} を ∂ M {\displaystyle \partial M} の測地線曲率（英語版）(geodesic curvature)とすると、 ∫ M K d A + ∫ ∂ M k g d s = 2 π χ ( M ) , {\displaystyle \int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,} となる。ここに dA は曲面の面積要素(element of area)、ds は M の境界に沿った線分要素とする。また、 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} は M のオイラー標数である。 境界 ∂ M {\displaystyle \partial M} が区分的に滑らかであれば、積分 ∫ ∂ M k g d s {\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\;ds} を境界の滑らかな部分に沿った対応する積分の総和と境界の角での滑らかな部分のなす角度の総和をプラスした値となる。
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定理の内容
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「スコロホッドの表現定理」の記事における「定理の内容」の解説
μn, n ∈ N を、位相空間 S 上の確率測度の列とする。μn は、n → ∞ に対して、S 上のある確率測度 μ に収束するものとする。また、μ の台は可分であるとする。このとき、共通の確率空間 (Ω, F, P) 上で定義される確率変数 Xn および X で次を満たすようなものが存在する： (Xn)∗(P) = μn （すなわち、μn は Xn の分布/法則）； X∗(P) = μ （すなわち、μ は X の分布/法則）； すべての ω ∈ Ω に対し、Xn(ω) → X(ω) as n → ∞ が成立する。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/22 00:03 UTC 版)
周期ポテンシャル V ( r ) = V ( r + R ) {\displaystyle V({\boldsymbol {r}})=V({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})} 中の一電子の量子力学的なハミルトニアン演算子を H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} とする。すなわち、 H ^ = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\boldsymbol {r}})} このとき、格子が3方向に基本格子ベクトル a 1 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}} , a 2 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}} , a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{3}} を持ち、格子ベクトル R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} を R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {R}}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}} （ n 1 {\displaystyle n_{1}} , n 2 {\displaystyle n_{2}} , n 3 {\displaystyle n_{3}} ：整数） とすると、 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} の固有関数として次のような形の関数を選ぶことができる。 ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}}\psi ({\boldsymbol {r}})} これがブロッホの定理である。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/22 08:40 UTC 版)
「コーシー＝コワレフスカヤの定理」の記事における「定理の内容」の解説
(t, x) = (t, x1, x2,..., xn)を、n+1次元実ベクトル空間Rn+1（もしくはn+1次元複素ベクトル空間Cn+1）の点とし、次の形の偏微分方程式系 ∂ p i u i ∂ t p i = F i ( t , x , u 1 , u 2 , … , u m , … , ∂ | ν | u j ∂ t ν 0 ∂ x 1 ν 1 ⋯ ∂ x n ν n , … , ) ( 1 ≤ i , j , ≤ m ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{i}}u_{i}}{\partial t^{p_{i}}}}=F_{i}{\biggl (}t,x,u_{1},u_{2},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,{\frac {\partial ^{|\nu |}u_{j}}{\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}}},\dotsc ,{\biggr )}\quad (1\leq i,j,\leq m)} | ν | = ν 1 + ν 1 + ⋯ + ν n ≤ p j , ν 0 < p j {\displaystyle \quad |\nu |=\nu _{1}+\nu _{1}+\dotsb +\nu _{n}\leq p_{j},\quad \nu _{0}<p_{j}} を初期条件 ∂ k u i ∂ t k ( 0 , x ) = w i k ( x ) ( 1 ≤ i ≤ m , 0 ≤ k ≤ p i − 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}(0,x)=w_{ik}(x)\quad (1\leq i\leq m,0\leq k\leq p_{i}-1)} の下に考える。各Fi (1 ≤ i ≤ m)は、左辺に現れる ∂ p i u i / ∂ t p i {\displaystyle \partial ^{p_{i}}u_{i}/\partial t^{p_{i}}} の項は含まず、正規形(normal form)であるとする。 ここでFi (1 ≤ i ≤ m)は、全変数 t , x , u 1 , … , u m , … , ( ∂ | ν | u j / ∂ t ν 0 ∂ x 1 ν 1 ⋯ ∂ x n ν n ) , … {\displaystyle t,x,u_{1},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,(\partial ^{|\nu |}u_{j}/\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}),\dotsc } について、(0,0,...,0)の近傍で収束べき級数を持つ、すなわち解析的（Cω級）であるとし、wik(x) (1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ k ≤ pi-1)もx=0の近傍で解析的であるとする。このとき、上記の偏微分方程式の初期問題を満たす解析的な解ui(t, x) (1 ≤ i ≤ m)が(t,x)=(0,0)の近傍で一意的に存在する。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 04:42 UTC 版)
数式を用いて述べると次のようになる。まず、R3 で定義された滑らかなベクトル場 F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=(F_{1},F_{2},F_{3})} に対して F の発散 div F を div F := ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}:={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}} と定義する。発散は∇(ナブラ;nabla)を用いると, div F = ∇ ⋅ F {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {F}}} と表され,ベクトルの内積(ドット積)となる. V を R3 において滑らか（ここでは C1 級でよい）な境界 ∂V をもつ有界な領域（= 連結開集合）とし、F を V の閉包で定義されている滑らかなベクトル場とすると、 ∭ V div F d x d y d z = ∬ ∂ V F ⋅ n d S {\displaystyle \iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{\partial V}{\boldsymbol {F}}\!\cdot \!{\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S} が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C1 級であれば十分である。 この定理は div という演算が発散（あるいは湧出量）と呼ばれる所以でもある。右辺は領域 V から流れ出す量であり、それが全ての発散を合わせたものに等しくなっている。 この定理は、一般的なストークスの定理から導くことができる。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:49 UTC 版)
「チェボタレフの密度定理」の記事における「定理の内容」の解説
L を代数体 Kの有限次ガロア拡大とし、G をそのガロア群とする。Xを G の部分集合で共役で閉じているものとする。このとき、Kの素イデアル v で L で不分岐かつ対応するフロベニウス共役類FvがXに含まれているもの全体の集合は密度 # X # G {\displaystyle {\frac {\#X}{\#G}}} を持つ。密度が自然密度であっても解析密度であってもこのことが成り立つ。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 08:46 UTC 版)
「ジーゲル・ウォルフィッツの定理」の記事における「定理の内容」の解説
ψ ( x ; q , a ) = ∑ n ≤ x n ≡ a ( mod q ) Λ ( n ) {\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n)} と定義する。ここに Λ {\displaystyle \Lambda } はフォン・マンゴルト函数 で ϕ {\displaystyle \phi } オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数 C N {\displaystyle C_{N}} が存在することを主張する。(a, q) = 1 かつ q ≤ ( log x ) N {\displaystyle q\leq (\log x)^{N}} であるときは、必ず ψ ( x ; q , a ) = x φ ( q ) + O ( x exp ( − C N ( log x ) 1 2 ) ) {\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)} となる。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:55 UTC 版)
「ミンコフスキーの不等式」の記事における「定理の内容」の解説
S を測度空間、1 ≦ p ≦ ∞ を任意の実数、f と g を Lp(S) の要素すなわち p 乗可積分関数とする。このとき f + g も Lp(S) に含まれ、 ‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}} が成立する。1 < p < ∞ における等号成立の必要十分条件は、f と g が正の線形従属であること、すなわち、ある c ≧ 0 が存在して f = c・g もしくは g = c・f と書けることである。これらの事実から、ミンコフスキーの不等式とはLp(S)に対する三角不等式の一般化と言える。 ヘルダーの不等式と同様、ミンコフスキーの不等式も数え上げ測度によって有限次元ベクトル空間における特別な場合を考えることができる： ( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 / p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}} ここで x1 、 ...、 xn 、y1 、 ...、 yn は任意の実数または複素数であり、n はベクトル空間の次元である。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/01/11 11:56 UTC 版)
「ルベーグ測度の正則性定理」の記事における「定理の内容」の解説
実数直線 R 上のルベーグ測度は、正則測度である。すなわち、R に含まれるすべてのルベーグ可測部分集合と、すべての ε > 0 に対して、次を満たすような R の部分集合 C と U が存在する。 C は閉； U は開； C ⊆ A ⊆ U; U \ C のルベーグ測度は、ε より厳密に小さい。 さらに、A が有限ルベーグ測度を持つなら、C はコンパクトであるように選ぶことが出来る（したがって、ハイネ・ボレルの定理により、閉かつ有界であるように選ぶことが出来る）。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/31 04:13 UTC 版)
( S , ρ ) {\displaystyle (S,\rho )} を可分距離空間とする。（ボレル σ-代数を備える） S {\displaystyle S} 上で定義される確率測度の全体を P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} とする。 定理 ある確率測度の全体 K ⊂ P ( S ) {\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)} が緊密であるための必要十分条件は、弱収束（英語版）位相を備える空間 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} において K {\displaystyle K} の閉包が点列コンパクトであることである。 そのような弱収束位相を備える空間 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} は、距離化可能である。 さらに ( S , ρ ) {\displaystyle (S,\rho )} は完備距離（したがって ( S , ρ ) {\displaystyle (S,\rho )} はポーランド空間）であると仮定する。このとき、弱収束位相と同値であるような P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 上のある完備距離 d 0 {\displaystyle d_{0}} が存在する。さらに、 K ⊂ P ( S ) {\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)} が緊密であるための必要十分条件は、 K {\displaystyle K} の閉包が ( P ( S ) , d 0 ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})} においてコンパクトであることである。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/14 23:50 UTC 版)
ある線型空間 内の任意の空でない集合 に対し、双極錐 は次で与えられる。 ここで は凸包を表す:54。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/19 10:47 UTC 版)
E を実ベクトル空間とし、F ⊂ E をその部分ベクトル空間とする。また K ⊂ E を凸錐とする。 線型汎函数 φ: F → R が K-正（K-positive）であるとは、錐 K 内のすべての点に対してそれが 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う： ϕ ( x ) ≥ 0 for x ∈ F ∩ K . {\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.} ψ | F = ϕ and ψ ( x ) ≥ 0 for x ∈ K . {\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in K.} 一般に F 上の K-正線型汎函数は、E 上の K-正線型汎函数に拡張できるとは限らない。二次元の場合、そのような反例として、x-軸の負の開区間を除いた上半平面として K を取る場合が挙げられる。このとき F が実軸であるなら、正の線型汎函数 φ(x, 0) = x はその平面上の正の汎函数へ拡張することは出来ない。 しかし、次の仮定の下ではそのような拡張は存在する：すべての y ∈ E に対して、y − x ∈K を満たすある x∈F が存在する。すなわち、E = K + F である。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/10/06 11:31 UTC 版)
「ウィーナー＝池原の定理」の記事における「定理の内容」の解説
α(t)を[0, ∞)で非負、非減少関数であるとし、ラプラス＝スティルチェス変換 f ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t d α ( t ) {\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\alpha (t)} g ( s ) = f ( s ) − A s − 1 {\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}} α ( t ) ∼ A e t {\displaystyle \alpha (t)\sim Ae^{t}} が成り立つ。
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定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/16 02:39 UTC 版)
「カリスティの不動点定理」の記事における「定理の内容」の解説
(X, d) を完備距離空間とする。T : X → X と f : X → [0, +∞) を X から非負の実数への下半連続函数とする。X 内のすべての点 x に対して、次が成り立つことを仮定する。 d ( x , T ( x ) ) ≤ f ( x ) − f ( T ( x ) ) . {\displaystyle d{\big (}x,T(x){\big )}\leq f(x)-f{\big (}T(x){\big )}.} このとき T は X 内に不動点、すなわち T(x0) = x0 を満たす点 x0 を持つ。
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