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凸集合

読み方：とつしゅうごう
【英】：convex set

ベクトル空間の部分集合 $S\,$ で次の条件を満たすもの.

$x, y \in S, \alpha \in (0,1) \Longrightarrow \alpha x + (1-\alpha) y \in S \,$

有限個の半空間の共通部分として表される凸集合を特に凸多面体という. 凸集合や凸多面体は線形計画をはじめ, 数理計画の様々な分野において最も基本的な役割を果たす.

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凸集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/18 07:12 UTC 版)

ユークリッド空間における物体が凸（とつ、英: convex）であるとは、その物体に含まれる任意の二点に対し、それら二点を結ぶ線分上の任意の点がまたその物体に含まれることを言う。例えば中身のつまった立方体は凸であるが、例えば三日月形のように窪みや凹みのあるものは何れも凸でない。凸曲線（英語版）は凸集合の境界を成す。

脚注

注釈

^ Takayama (1994)「しばしばみられる混乱が『凹集合』である。凹函数と凸函数はある種の函数のクラスを指すのであって集合のではない、その一方凸集合は集合のある種のクラスを指すのであって函数のではない。『凹集合』は集合か函数か紛らわしい」^[4]^:54
^ Corbae, Stinchcombe & Zeman (2009)「凹集合というようなものは存在しない」^[5]^:347
^ 空集合はミンコフスキー和において重要である。空集合は他の任意の部分集合を零化 (annihilate) する: 任意の部分集合 $S$ に対して、それと空集合との和 $S + \emptyset = \emptyset$ は空集合である。
^ ミンコフスキー和と凸化の可換性は (Schneider 1993, pp. 2–3, Theorem 1.1.2) を参照。(Schneider 1993, pp. 126–196, Chapter 3 Minkowski addition) はミンコフスキー和集合の凸包に関する多くの文献を論じている^[9]

出典

^ 寒野善博 2019, pp. 81–82.
^ McConnell, Jeffrey J. (2006), Computer Graphics: Theory Into Practice, ISBN 0-7637-2250-2 .
^ Weisstein, Eric W. "Concave". MathWorld (英語).
^ Takayama, Akira (1994), Analytical Methods in Economics, University of Michigan Press, ISBN 9780472081356
^ Corbae, Dean; Stinchcombe, Maxwell B.; Zeman, Juraj (2009), An Introduction to Mathematical Analysis for Economic Theory and Econometrics, Princeton University Press, ISBN 9781400833085
^ ^a ^b Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chişinău, 1984 (in Russian).
^ ^a ^b Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc.. pp. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6. MR1461544
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^ Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory. Encyclopedia of mathematics and its applications. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR1216521
^ Lemma 5.3: Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2006). Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-29587-7
^ Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations", in: Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.
^ Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
^ Definition:Convex Set (Order Theory) at ProofWiki
^ van De Vel, Marcel L. J. (1993). Theory of convex structures. North-Holland Mathematical Library. Amsterdam: North-Holland Publishing Co.. pp. xvi+540. ISBN 0-444-81505-8. MR1234493

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