ひ‐ユークリッドきかがく【非ユークリッド幾何学】
非ユークリッド幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/26 23:38 UTC 版)
非ユークリッド幾何学（ひユークリッドきかがく、英語: non-Euclidean geometry）は、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たないとして成立する幾何学の総称。非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学（特に球面幾何学は楕円幾何学の代表的なモデルである）が知られている。
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- 2 非ユークリッド幾何学の概要
非ユークリッド幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 00:51 UTC 版)
「平行線公準」も参照 角αと角βの和が180度より小さければ、点線の方向に線を延長していくと二つの直線はいつか必ず交わるというのが平行線公理。 ところが非ユークリッド幾何学では空間が曲がっているからそれは成り立たない。 長らく原論の平行線公理は幾何学において問題となったが、この公理を他の公理から導出しようとする試みは全て頓挫した。もし平行線公理が公理でなければ、ほかの公理系から導出できるはずだと試みられて失敗したわけである。19世紀に入ってようやく、他の公理はそのままに平行線公理のみをその否定命題に置換してもユークリッド幾何学に似た幾何学が成立することがボヤイ、ロバチェフスキーらによって示され、非ユークリッド幾何学が誕生した。 非ユークリッド幾何学の無矛盾性はユークリッド幾何学の無矛盾性に依存し、後者が無矛盾であれば前者も無矛盾であるとされ、両者の差異は単なる計量の違いに過ぎないことが明らかにされた。
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非ユークリッド幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/06 09:21 UTC 版)
任意の二点を結ぶ（直線の代わりに）測地線を含む集合として測地的凸集合（英語版）を定義することにより、凸集合や凸包の概念を非ユークリッド幾何学に対するものへ自然に拡張することができる。
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