微分位相幾何学

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微分位相幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/10 20:08 UTC 版)

微分位相幾何学（びぶんいそうきかがく）もしくは微分トポロジー（英語：differential topology）は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。微分可能構造という位相のみでは決まらないものを扱うため純粋な位相幾何学として扱うのは難しい部分もあるが,位相が与えられている多様体の微分可能構造つまり微積分ができるような構造を調べるということで位相多様体を調べるもので,微分可能構造まで込めた多様体に距離や曲率を定めて研究を行う微分幾何学に比べ自由度は高いことから位相幾何学であるとされている。解析学や微分幾何学と位相幾何学の学際研究が非常に有益なことは初期から知られており、局所的な性質を扱う微分幾何学と大域的な性質を扱う位相幾何学の対照的な2分野による多様体の研究は双方の発展を促した。古くはフェリックス・クラインやアンリ・ポアンカレまで遡れ、現在微分位相幾何学と呼ばれているものはルネ・トムやジョン・ミルナーといった数学者によって創り出された。

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微分位相幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/16 00:15 UTC 版)

「位相幾何学」の記事における「微分位相幾何学」の解説

詳細は「微分位相幾何学」を参照 微分位相幾何学は可微分多様体上の可微分写像を扱う分野である。微分幾何学とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。 より精確に述べれば、微分位相幾何学は多様体上に可微分構造（英語版）が定義されることのみを必要とする性質や構造を考察する。滑らかな多様体はほかに余計な幾何学的構造（これらは微分位相幾何学において存在するある種の同値性や変形（英語版）の妨げとなる）を持つ多様体よりは「柔らかい」。例えば、体積やリーマン曲率は同一の滑らかな多様体上で相異なる幾何学的構造を区別することのできる不変量である。つまり、ある種の多様体を滑らかに「平坦にする」("flatten out") ことができたとしても、それには空間を歪める必要があるかもしれないし、その結果として曲率や体積が変わってしまうかもしれない。

微分位相幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 06:09 UTC 版)

「微分幾何学」の記事における「微分位相幾何学」の解説

微分位相幾何学では多様体上の滑らかな構造のみに起因するような構造や性質が調べられる。滑らかな多様体は付加的な幾何構造を付与されてしまった多様体よりも柔軟な対象である。付加的な構造は微分位相幾何学的には可能な変形や同値関係の存在に対する障害になることがある。例えば体積やリーマン曲率は一つの滑らかな多様体上の異なった幾何構造を区別する不変量になりうる。つまり、多様体を滑らかに「引き延ばす」ことができるとしてもそれによって空間が変形されてしまい曲率や体積が影響を受けるということがありうる。 逆に、滑らかな多様体は位相多様体と比較すればより厳しい構造をもっている。ある種の位相多様体は滑らかな構造を持ち得ない（ドナルドソンの定理）し、ある種のものは相異なる複数の滑らかな構造を持ちうる（例えば異種球面）。滑らかな多様体から得られる構成のうち、接束のように（追加の考察をすることで）位相多様体に対しても実現可能なものもあるが、そうでないものもある。