次元 (ベクトル空間)
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/01 03:59 UTC 版)
数学における、ベクトル空間の次元（じげん、英: dimension）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 他の種類の次元（たとえばヒルベルト次元）との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dimF(V) あるいは [V : F] で表す（文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く）。
- ^ (Gannon 2006)
- 1 次元 (ベクトル空間)とは
- 2 次元 (ベクトル空間)の概要
- 3 一般化
- 4 関連項目
有限次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/12 18:00 UTC 版)
次元 n の有限次元内積空間に対して、k-次元部分空間の直交補空間は、(n − k)-次元部分空間であり、二重直交補空間は、もとの部分空間と等しい。すなわち、 (W⊥)⊥ = W が成立する。A が m × n 行列で、Row A、Col AおよびNull A がそれぞれ行空間、列空間および零空間を表すとき、 (Row A)⊥ = Null A (Col A)⊥ = Null tA が成立する。
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有限次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 09:38 UTC 版)
有限次元空間におけるフレシェ導函数は通常の導函数である。特に、座標系を定めれば、フレシェ導函数はヤコビ行列で表される。 写像 f を Rn の開集合 U 上の函数 f: U → Rm とするとき、f が一点 a ∈ U においてフレシェ微分可能ならば、その導函数は D f ( a ) : R n → R m ; v ↦ D f ( a ) ( v ) := J f ( a ) v {\displaystyle Df(a):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m};\;v\mapsto Df(a)(v):=J_{f}(a)v} となる。ただし、Jf(a) は f の a におけるヤコビ行列である。 さらに言えば、{ei} を Rn の標準基底として、f の各偏導函数が ∂ f ∂ x i ( a ) = D f ( a ) ( e i ) = J f ( a ) e i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=Df(a)(e_{i})=J_{f}(a)e_{i}} で与えられる。この導函数は線型写像であるから、任意のベクトル h ∈ Rn に対して、f の h に沿っての方向微分が D f ( a ) ( h ) = ∑ i = 1 n h i ∂ f ∂ x i ( a ) {\displaystyle Df(a)(h)=\sum _{i=1}^{n}h_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)} で与えられる。f の全ての偏導函数が存在して連続ならば、f はフレシェ微分可能（実は C1-級）である。逆は成り立たない（函数がフレシェ微分可能でも、連続な偏導関数を持たないことが起こり得る）。
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