選択公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/23 09:30 UTC 版)
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。
注釈
- ^ 1926年にアドルフ・リンデンバウムとアルフレト・タルスキが示したが、証明は散逸した。同内容を1943年にヴァツワフ・シェルピニスキが再発見し1947年に出版した。
出典
- ^ Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann". Mathematische Annalen 59: 514-16.
- ^ 田中(1987)、36頁。
- ^ Jech, Thomas J. (2008-07-24), The Axiom of Choice, Dover Books on Mathematics (Paperback ed.), United States: Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-46624-8
選択公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/02 13:16 UTC 版)
「ケーニヒの定理 (集合論)」の記事における「選択公理」の解説
選択公理は"任意の空でない集合の直積は空でない"という命題とも言える。I の要素i に対しBiを空でない集合、Ai = {}とする。ケーニヒの定理から、: ∀ i ∈ I ( { } < B i ) {\displaystyle \forall i\in I(\{\}<B_{i})} ならば { } < ∏ i ∈ I B i . {\displaystyle \{\}<\prod _{i\in I}B_{i}.} となる。すなわち、与えられた空でない集合Biの直積は空集合の和より大きい濃度を持ち、空でないから、これは選択公理の主張に他ならない。つまり、ケーニヒの定理から選択公理が導かれる。ケーニヒの定理からの帰結について議論するときは暗黙の内に、選択公理を仮定することになる。
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選択公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/07 16:26 UTC 版)
詳細は「選択公理」を参照 選択公理 X が互いに交わらないような空でない集合の集合であるとき、X の各要素から一つずつ要素をとってきたような集合（選択集合）が存在する： ∀ X ( ( ∅ ∉ X ∧ ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X ( x ≠ y → x ∩ y = ∅ ) ) → ∃ A ∀ x ∈ X ∃ t ( x ∩ A = { t } ) ) {\displaystyle \forall X((\varnothing \notin X\wedge \forall x\in X\forall y\in X(x\neq y\rightarrow x\cap y=\varnothing ))\rightarrow \exists A\forall x\in X\exists t(x\cap A=\{t\}))} 。 選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理やツォルンの補題などがある。
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選択公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)
選択公理は、空でない集合たちの族の積が空でないという主張と同値である。証明は十分簡単である。各集合から元を選んで積において代表元を見つけるだけでよい。逆に、積の代表元は各成分からの元をちょうど1つずつ含む集合である。 選択公理は積空間の研究において再び現れる。例えば、コンパクト集合に関するチコノフの定理は選択公理と同値なより複雑かつ微妙な主張の例である。
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