方向微分
方向微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 04:41 UTC 版)
詳細は「方向微分」を参照 関数 f(x1, …, xn) について、偏微分は f の各座標軸方向への変化を測る。f の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。 ベクトル v = (v1, …, vn) に対して、関数 f の点 a = (a1, …, an) における v 方向への方向微分係数とは、 lim h → 0 f ( a + h v ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}} のことである。xj 軸正の方向の単位ベクトルを ej とするとき、ej 方向への方向微分係数は、xj に関する偏微分係数に他ならない。 f が点 a においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトル v について、点 a における v 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は v に関して線型である。特に、v = (v1, …, vn) に対して方向微分係数 Dvf(a) は D v f ( a ) = ∑ j = 1 n v j ∂ f ∂ x j ( a ) {\displaystyle D_{v}f(a)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)} によって与えられる。
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方向微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 06:28 UTC 版)
1 ≤ r ≤ ∞ とする。 m 次元 Cr 級多様体 M と、その中の Cr 級曲線 φ :(− ε, ε) → M と M 上の任意の Cr 級関数 f : M → R を与えたとき、 t0 ∈ (− ε, ε) に対して v ϕ ; : f ↦ d d t f ∘ ϕ ( t ) | t = t 0 {\displaystyle v_{\phi ;}:f\mapsto {\frac {d}{dt}}f\circ \phi (t)|_{t=t_{0}}} という対応 vφ を曲線 φ の t = t0 における方向微分 (directional derivative) という。 この定義には局所座標系などは全く出てこないので方向微分は座標系に依存しない。 φ(t0) = p ∈ M とする。 p の近傍で定義された任意の Cr 級関数 f,g 及び任意の実数 a,b に対し vφ(a f + b g) = a vφ(f) + b vφ(g) vφ(f g) = vφ(f) g(p) + f(p) vφ(g) が成り立つ。この左辺の変数になっている f g は q ∈ M に対して f g : q → f(q) g(q) のように関数の値の（普通の意味での）積とする。 このことから、方向微分 vφ は線型性を持ち、ライプニッツ則（積の微分法則）に従う作用素であることが分かる。 数学においては、このように性質を調べた後でその性質をその言葉の定義と取り替えて一般化することがよくある。 すなわち m 次元 Cr 級多様体 M の点 p の近傍で定義された任意の Cr 級関数 f,g 及び実数 a,b に対し v(a f + b g) = a v(f) + b v(g) v(f g) = v(f) g(p) + f(p) v(g) をみたすような対応 v : f → v(f) ∈ R のことを p における方向微分という。 この定義には曲線 φ すら出てこない。 多様体 M 上の点 p における方向微分の全体を Drp(M) と書く。 f = g が恒等的に 1 を取る関数であれば、定義より v(1*1) = v(1) * 1 + 1 v(1) v(1) = 0 となる。このことより f が定数 a を取る定数関数であれば v(a) = v(a*1) = a v(1) = 0 となることがわかる。 p の開近傍を十分小さく取ったときに Cr 級関数 f,g の値がその開近傍上で等しいとき v(f) - v(g) = v(f − g) = v(0) = 0 v(f) = v(g) となる。 p ∈ M での方向微分 u,v と Cr 級関数 f 実数 a に対して (u + v)(f) = u(f) + v(f) (a u)(f) = a (u(f)) のように、方向微分の和と定数倍を定義することにより、 Drp(M) はベクトル空間になる。
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方向微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)
m 次元可微分多様体 M 上の実数値関数 f が与えられると、M の点 p における f の方向微分は以下のように定義される。γ(t) を M 内の曲線で γ(0) = p で、任意の1つのチャートのとの合成が Rm 内の微分可能な曲線であるという意味で微分可能なものとする。すると γ に沿った p での f の方向微分 (directional derivative) は d d t f ( γ ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}} である。γ1 と γ2 が2つの曲線で γ1(0) = γ2(0) = p であり任意の座標チャート φ において d d t ϕ ∘ γ 1 ( t ) | t = 0 = d d t ϕ ∘ γ 2 ( t ) | t = 0 {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}} であるとすると、チェーンルールによって、f の p での γ1 に沿った方向微分と γ2 に沿った方向微分は同じである。これは方向微分は p での曲線の接ベクトルのみに依存することを意味する。したがって可微分多様体の場合に適合した方向微分のより抽象的な定義はアフィン空間における方向微分の直感的な性質を究極的に捉えている。
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方向微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:22 UTC 版)
スカラー場 f(x, y, z) の a ( x , y , z ) = a x x ^ + a y y ^ + a z z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}(x,y,z)=a_{x}{\hat {\boldsymbol {x}}}+a_{y}{\hat {\boldsymbol {y}}}+a_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}} 方向への方向微分は a ⋅ grad f = a x ∂ f ∂ x + a y ∂ f ∂ y + a z ∂ f ∂ z = ( a ⋅ ∇ ) f {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+a_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+a_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}=({\boldsymbol {a}}\cdot \nabla )f} で表される。これは場 f の a 方向への変化量を与えるものである。作用素の記法では、括弧に入れた要素は一つの一貫した単位と考えられ、この規約は流体力学では（流体の「動く」微分としての）流体微分の言葉で縦横に用いられている。
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