四元数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/20 17:34 UTC 版)
数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて
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- ^ Robert E. Bradley, Charles Edward Sandifer (2007). Leonhard Euler: life, work and legacy. p. 193. ISBN 0-444-52728-1. 著者らはヴィルヘルム・ブラシュケが1959年に唱えた「四元数を初めて同定したのはオイラーで、それは1748年の5月4日のゴールドバッハへ向けた書簡においてである」("the quaternions were first identified by L. Euler in a letter to Goldbach written on May 4, 1748,") という主張に言及し「この書簡においてオイラーが四元数を『同定した』というのは如何にもナンセンスで… この主張は馬鹿げている」("it makes no sense whatsoever to say that Euler "identified" the quaternions in this letter... this claim is absurd.") と評している。
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「トゥームレイダー」(1996) は、四元数を利用してスムーズな3次元回転を実現した最初の販売用コンピューターゲームである。例えば、Nick Bobick's, "Rotating Objects Using Quaternions", ゲーム・ディベロッパー (雑誌)（1998年7月）を参照。 - ^ Girard, P. R. The quaternion group and modern physics (1984) Eur. J. Phys. vol 5, p. 25–32. doi:10.1088/0143-0807/5/1/007
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四元数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
このセクションにおいて、ハミルトンの四元数がクリフォード代数 Cℓ0,3(R) の偶部分代数として構成される。 ベクトル空間 V を実 3 次元空間 R3 とし、二次形式 Q を通常のユークリッド計量からいれる。すると、v, w ∈ R3 に対して二次形式あるいはスカラー積 v ⋅ w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 . {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.} をもっている。今次で与えられるベクトル v と w のクリフォード積を導入する v w + w v = − 2 ( v ⋅ w ) . {\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ).\!} この定式化は負の符号を用いているので四元数との対応は容易に示される。 R3 の直交単位ベクトルの集合を e1, e2, e3 として表記すると、クリフォード積は関係 e 2 e 3 = − e 3 e 2 , e 3 e 1 = − e 1 e 3 , e 1 e 2 = − e 2 e 1 , {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2},\,\,\,\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{3},\,\,\,\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1},\!} および e 1 2 = e 2 2 = e 3 2 = − 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1\!} を生み出す。クリフォード代数 Cℓ0,3(R) の一般の元は A = a 0 + a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + a 4 e 2 e 3 + a 5 e 3 e 1 + a 6 e 1 e 2 + a 7 e 1 e 2 e 3 {\displaystyle A=a_{0}+a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+a_{5}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+a_{6}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+a_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\!} によって与えられる。 Cℓ0,3(R) の偶次数元の線型結合は一般元 Q = q 0 + q 1 e 2 e 3 + q 2 e 3 e 1 + q 3 e 1 e 2 {\displaystyle Q=q_{0}+q_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+q_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+q_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\!} とともに Cℓ 00,3 (R) の偶部分代数を定義する。基底元は四元数基底元 i, j, k と i = e 2 e 3 , j = e 3 e 1 , k = e 1 e 2 {\displaystyle i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}} として同一視することができ、これは偶部分代数 Cℓ 00,3 (R) はハミルトンの実四元数代数であることを示している。 これを見るには、 i 2 = ( e 2 e 3 ) 2 = e 2 e 3 e 2 e 3 = − e 2 e 2 e 3 e 3 = − 1 , {\displaystyle i^{2}=(\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3})^{2}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1,\!} と i j = e 2 e 3 e 3 e 1 = − e 2 e 1 = e 1 e 2 = k {\displaystyle ij=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=k\!} を計算する。最後に、 i j k = e 2 e 3 e 3 e 1 e 1 e 2 = − 1. {\displaystyle ijk=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-1.\!}
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四元数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/20 00:27 UTC 版)
詳細は「四元数と空間回転」を参照 四元数は、ある意味で三次元の回転を表すのに最も直観の少ない方法である。これらは行列などを用いる一般的なアプローチでは実態として三次元ではないし、オイラー角や軸角のように実世界との関連も容易に見て取ることはできないが、しかしそれらの手法の何れと比べても四元数を用いるほうが記述や扱いが簡潔であり、それ故に実世界における応用に際してもしばしば用いられる[要出典]。 回転を表す四元数は四つの実数の組であり、それ故ベクトルとしての長さが 1 であるという制約を課して、回転四元数の自由度を期待されるべき 3 に制限する。四元数は複素数の一般化（例えばケイリー・ディクソン構成）として考えることができて、回転も同様に乗法を使って生成することができるが、行列や複素数の場合と異なり、二つの回転四元数を掛けて x ′ = q x q − 1 {\displaystyle \mathbf {x} '=q\mathbf {x} q^{-1}} とする必要がある。ここで、q は回転四元数、q−1 はその逆数で、x はベクトルとして扱われた四元数である。四元数を軸角回転の形の回転ベクトルに、四元数上の指数函数 q = e v / 2 {\displaystyle q=e^{\mathbf {v} /2}} を用いて関連付けることができる。ここで v は四元数として扱った回転ベクトルである。
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