オイラー標数
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オイラー標数（オイラーひょうすう、英: Euler characteristic）とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもある[2]が、オイラー数は別の意味で使われることも多い[3]。
- ^ Hirsch, M. W. (1976). Differential Topology. Springer. ISBN 978-1-4684-9451-8. Zbl 0356.57001. "Theorem 9.3.5"
- ^ 田村 1972, p. 102
- ^ Weisstein
- ^ 十分先でベッチ数は 0 になるので、和は実際は有限和である。
- ^ Bredon, G. E. (1993). Topology and Geometry. Springer. ISBN 3-540-97926-3. Zbl 0791.55001. "Theorem 13.3 (Euler-Poincaré)"
- 1 オイラー標数とは
- 2 オイラー標数の概要
- 3 脚注
オイラー標数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/06 14:14 UTC 版)
「隣接代数 (順序理論)」の記事における「オイラー標数」の解説
詳細は「オイラー標数」を参照 半順序集合が有界とは、それが最大元 1 と最小元 0 を持つときに言う（いま 0, 1 は単に記号としてそう書くのであって係数環の 0, 1 と混同してはならない）。有界有限半順序集合のオイラー標数とは、メビウス函数の値 μ(0,1) のことを言う。このように言う理由は、P が最大元 1 と最小元 0 を持つとき、P ∖ {0, 1} に面を持つ単体的複体の被約オイラー標数が μ(0,1) に一致するからである。
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オイラー標数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/19 14:56 UTC 版)
層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} のオイラー標数 χ ( F ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})} は、 χ ( F ) := ∑ i ∈ Z 0 + ( − 1 ) i r a n k ( H i ( X , F ) ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}):=\textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}(-1)^{i}\,{\rm {rank}}\,(H^{i}(X,{\mathcal {F}}))} により定義される。 この表現はベッチ数の交代和としてのオイラー標数の一般化であるが、この表現が意味をなすためには、2つの条件が満たされねばならない。第一は、和の各項がほとんど全てが 0 である、つまり、ある N が存在し、 i ≥ N {\displaystyle i\geq N} でコホモロジーが0である必要がある。さらにランクはアーベル群のランク、もしくはベクトル空間の次元のように、加群の理論からの well-defined な函数で、問題のコホモロジー群の有限の値となっていることである。従って、項の和の有限性とコホモロジー群の有限性という 2つの種類の有限性（英語版）の証明が要求される。 連接層のような理論では、そのような定理があり、χ(F) の値が他の考え方（例えば、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理やグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理（英語版））から、個別の項のランクよりも容易に計算することができる。実践的には、H0(X,F) が最も興味が持たれ、他の Hi(X,F) 上の消滅定理によりランクを計算する一つの方法がある。この方法は、標準的な間接的な層の理論の方法で数値的な結果がもたらされる。
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