ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理とは? わかりやすく解説

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ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/09/24 01:54 UTC 版)

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としてグロタンディーク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理英語版およびアティヤ=シンガーの指数定理がある。




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ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/01/02 21:26 UTC 版)

トッド類」の記事における「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」の解説

詳細は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理を参照。 ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、コンパクトな複素多様体X上の任意の正則ベクトル束Eに対して層係数コホモロジー内にあるEの正則オイラー標数、すなわち複素ベクトル空間としての次元交代和計算するために適用する。 χ ( F ) := ∑ i = 0 dim C M ( − 1 ) i dim C H i ( F ) , {\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(F),} この定理は、E のチャーン類と X のトッド類正しくはX の接ベクトル束トッド類)からオイラー数 χ(X, E) が導かれることを示している。E のチャーン指標ch(E) とおき、X のトッド類td(X) とすると、定理は 以下のように書ける。 χ ( X , E ) = ∫ X ch( E ) td( X ) {\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)} ここでのtd(X)が、Xの接ベクトル束トッド類である。 上の公式は、トッド類ある意味特性類逆数であるという曖昧な概念を、正確に表したものとなっている。

※この「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」の解説は、「トッド類」の解説の一部です。
「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」を含む「トッド類」の記事については、「トッド類」の概要を参照ください。

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