三省堂 大辞林

いそう-きかがく ゐさう― 5 【位相幾何学】

長さ・大きさなどの量的関係を無視し、図形相互の位置、つながり方などを、連続的に変形させて、その図形の不変な性質を見つけたり、またそのような変形のもとでどれほど異なる図形があるかを研究する幾何学。すなわち、図形の位相的性質を研究する幾何学。スイスの数学者オイラーの一筆がきの研究などから始まる。トポロジー。

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位相幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/12/27 14:16 UTC 版)

コーヒーカップからドーナツへ　コーヒーカップを引っ張ったり縮めたりして連続的に変形させていくと、ドーナツの形へ移し変えができる。こうした連続的な変形はホモトピーと呼ばれる。位相幾何学的には、ホモトピーによって移り変わる 2 つの図形（コーヒーカップとドーナツなど）は、区別されない。

位相幾何学（いそうきかがく、英語：topology、トポロジー）は「やわらかい幾何学」として知られる、比較的新しい幾何学の分野である。トポロジーの名称はギリシャ語のトポス (τόπος) とロゴス (λόγος) の合成に由来するもので、直訳すれば「位置の研究・学問」である。

位相幾何学では、例えばドーナツ（円環体）と取っ手のついたコップは同一視される。これはドーナツを「連続」的に変形して取っ手のついたコップにすることができ、その逆もできるからである。ここで、「連続」という言葉を強調することには意味がある。連続性は、まさしく位相幾何学の存在理由となる概念であるからである。連続性を、より厳密に定義するために用いられるのが、近さを測る距離 (metric) の概念を抽象化した位相 (topology) と呼ばれる概念である。位相（これもまたトポロジーと呼ばれる）とはなんであるかということについて、その基礎づけを与える学問は点集合トポロジー (point-set topology)、一般位相 (general topology) あるいは位相空間論と呼ばれ、そこでは位相空間の内在的な性質が浮き彫りにされる。

位相幾何学の研究は、低次元の空間を扱うものと高次元の空間を扱うものとで、その手法が大きく異なる。

位相幾何学にはいくつかの大きな分科があり、代数的位相幾何学 (algebraic topology)、微分位相幾何学 (differential topology) それから低次元位相幾何学に良く見られる幾何学的位相幾何学 (geometric topology) などを挙げることができる。近年では生物学と数学の学際的分野である DNA の位相幾何学が勃興した。