定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 21:46 UTC 版)
「コーシー・ビネの公式」の記事における「定理の証明」の解説
行列式の多重線型性により det ( A B ) = | ∑ p 1 = 1 n a 1 , p 1 b p 1 , 1 ⋯ ∑ p m = 1 n a 1 , p m b p m , m ⋮ ⋱ ⋮ ∑ p 1 = 1 n a m , p 1 b p 1 , 1 ⋯ ∑ p m = 1 n a m , p m b p m , m | = ∑ p 1 = 1 n ⋯ ∑ p m = 1 n | a 1 , p 1 ⋯ a 1 , p m ⋮ ⋱ ⋮ a m , p 1 ⋯ a m , p m | b p 1 , 1 ⋯ b p m , m = ∑ p : [ m ] → [ n ] A ( 1 ⋯ m p ( 1 ) ⋯ p ( m ) ) b p ( 1 ) , 1 ⋯ b p ( m ) , m {\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&={\begin{vmatrix}\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{1,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{1,p_{m}}b_{p_{m},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{m,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{m,p_{m}}b_{p_{m},m}\end{vmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{p_{1}=1}^{n}\cdots \sum \limits _{p_{m}=1}^{n}{\begin{vmatrix}a_{1,p_{1}}&\cdots &a_{1,p_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,p_{1}}&\cdots &a_{m,p_{m}}\end{vmatrix}}\,b_{p_{1},1}\cdots b_{p_{m},m}\\&=\textstyle \sum \limits _{p:[m]\to [n]}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\p(1)&\cdots &p(m)\end{pmatrix}}b_{p(1),1}\cdots b_{p(m),m}\end{aligned}}} が導かれる。最後の式の p は {1, …, m} から {1, …, n} への写像である。 行列式の反対称性によりp が単射の場合のみ行列式は非零なので、p(i) = k(π(i))と置き換えられる。ここで、置換 π : [m ]→[m ] はm 次の対称群 S m {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{m}} の元であり、k :[m ]→[n ] は i < j ⇒ k(i) < k(j) を満たす関数である。これより det ( A B ) = ∑ π ∈ S m ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) A ( 1 ⋯ m k ( π ( 1 ) ) ⋯ k ( π ( m ) ) ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m = ∑ π ∈ S m ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) sgn ( π ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m = ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) B ( k ( 1 ) ⋯ k ( m ) 1 ⋯ m ) = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n A ( 1 ⋯ m k 1 ⋯ k m ) B ( k 1 ⋯ k m 1 ⋯ m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&=\sum _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\sum _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\sum _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\\&=\sum _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k_{1}&\cdots &k_{m}\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\end{aligned}}} が成り立つ。なお、sgn(π ) は置換π の符号であり、行列式の反対称性 A ( 1 ⋯ m k ( π ( 1 ) ) ⋯ k ( π ( m ) ) ) = sgn ( π ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) {\displaystyle A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}=\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}} および、 B ( k ( 1 ) ⋯ k ( m ) 1 ⋯ m ) = ∑ π ∈ S m sgn ( π ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m {\displaystyle B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\sum _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\operatorname {sgn}(\pi )~b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}} を用いた。
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定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/16 01:32 UTC 版)
αとβを Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の元とする。このとき ( α β ) 3 = ( β α ) 3 . {\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.} 単数と素元1− ωには補充法則 がある： α =a+bωである素元、a=3m+1及びb=3n とおく。 （a≡2（mod 3）の場合 αをその同伴元-αと置き換える。これは、3乗剰余記号値を変更しない。 ）このとき ( ω α ) 3 = ω 1 − a − b 3 = ω − m − n , ( 1 − ω α ) 3 = ω a − 1 3 = ω m , ( 3 α ) 3 = ω b 3 = ω n . {\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}
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定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/27 05:57 UTC 版)
「マルコフ＝角谷の不動点定理」の記事における「定理の証明」の解説
単一のアフィン写像 T の不動点の集合は、上述の結果より、空でないコンパクト凸集合 CT となる。族 S 内の他の写像は T と可換であるため、それらに対して CT は不変である。単一の写像に対する結果を逐次的に適用することにより、S の任意の有限部分集合には、T を部分集合について変化させた時のコンパクト凸集合 CT の共通部分として与えられる空でない不動点の集合が含まれることが分かる。C のコンパクト性より、集合 C S = { y ∈ C | T y = y , T ∈ S } = ⋂ T ∈ S C T {\displaystyle C^{S}=\{y\in C|Ty=y,\,T\in S\}=\bigcap _{T\in S}C^{T}\,} は空でない（さらにコンパクトかつ凸である）ことが従う。
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定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 01:47 UTC 版)
証明にあたっては f の上界の存在と最大値について調べることになる。そうすれば、その結果を函数 –f に適用して f の下界の存在と最小値についての結果を得ることができる。証明は全て実数直線に関する文脈の中で行われることにも注意。 最大値定理の証明においてはその途中段階として有界性定理をまず証明する。証明は基本的に次のような段階を踏んで行う： 有界性定理を証明する。 像が f の上限に収斂するような点列を得る。 得られた点列の部分列で、f の定義域に属する点へ収斂するものがあることを示す。 連続性を用いて、得られた部分列の像が f の上限へ収斂することを示す。 有界性定理の証明 連続函数 f が有界閉区間 [a, b] 上で上に有界でないとすると、各自然数 n に対して点 xn ∈ [a,b] を f(xn) > n となるものが取れるから、数列 {xn} が作れる。区間 [a, b] は有界ゆえ、ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理から {xn} の収斂部分列 {xnk} が取れることが従い、いまその収斂先を x とすると区間 [a, b] が閉ゆえ x はこの区間に属する。f は x で連続であるから（f は x において点列連続（英語版）で）部分列 {f(xnk)} は実数 f(x) へ収斂しなければならないが、f(xnk) > nk ≥ k が任意の k について成り立つことから {f(xnk)} は正の無限大 +∞ へ発散することが従うから、これは矛盾である。従って f は有界閉区間 [a, b] において有界である。 最大値定理の証明 有界性定理により f は上に有界ゆえ、実数のデテキント完備性（英語版）から f の最小上界（上限）M が存在するから、M = f(d) を満たす点 d ∈ [a, b] を見つければよい。自然数 n に対して、M が最小上界ならば M – 1/n は f の上界にはならないから、適当な dn ∈ [a, b] が存在して M – 1/n < f(dn) とできる。これにより点列 {dn} が作れる。最小上界 M は f の上界なのだから、任意の n について M – 1/n < f(dn) ≤ M が成り立ち、従って数列 {f(dn)} は M へ収斂する。 ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理により、適当な d に収斂する部分列 {dnk} が存在して、区間 [a, b] が閉ゆえ d は [a, b] に属する。f は d において連続だから、数列 {f(dnk)} は f(d) に収斂するが、数列 {f(dnk)} は M に収斂する数列 {f(dn)} の部分列ゆえ、M = f(d) でなければならない。従って f は d において上限 M に到達する。
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定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 10:58 UTC 版)
ルベーグの優収束定理はファトウ–ルベーグの定理（英語版）の特別な場合である。しかし、以下では、ファトゥの補題を本質的な道具として用いた、直接的な証明を行う。 ƒ は、g によって支配される可測関数の列 (fn) の各点収束極限であるため、それ自身もまた g によって支配される可測関数であり、したがって、可積分である。さらに、すべての n に対して | f − f n | ≤ | f | + | f n | ≤ 2 g {\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g} が成立し（この不等式は後で必要となる）、また lim sup n → ∞ | f − f n | = 0. {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.} が成立する。この二つ目の等式は、f の定義により自明に分かる。ルベーグ積分の線型性および単調性により、 | ∫ S f d μ − ∫ S f n d μ | = | ∫ S ( f − f n ) d μ | ≤ ∫ S | f − f n | d μ {\displaystyle {\biggl |}\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }{\biggr |}={\biggl |}\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }{\biggr |}\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }} が得られる。逆ファトゥの補題により（ここで上述の、|f-fn| が可積分関数 2g により支配されるという不等式が必要となる）、 lim sup n → ∞ ∫ S | f − f n | d μ ≤ ∫ S lim sup n → ∞ | f − f n | d μ = 0 , {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,} が得られるが、これはその極限が存在し、消失すること、すなわち lim n → ∞ ∫ S | f − f n | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0} を意味し、したがって定理の主張は示される。 もし定理の仮定が μ に関してほとんど至る所でのみ成立するものであれば、ある μ に関する空集合 N ∈ Σ が存在し、関数 ƒn1N は S 上の至る所でそれらの仮定を満たす。すると、 ƒ(x) は x ∈ S−N に対して ƒn(x) の各点収束極限であり、また x ∈ N に対して ƒ(x) = 0 であるため、ƒ は可測である。その積分の値は、μ に関する空集合 N には影響されない。
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定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/22 00:03 UTC 版)
簡単のため1次元で考える。原子間の距離 a {\displaystyle a} で規則正しく並んだ1次元の結晶を考えると、結晶中の電子が感じるポテンシャルは次のような周期性を持つ。 ⋯ = V ( x − 2 a ) = V ( x − a ) = V ( x ) = V ( x + a ) = V ( x + 2 a ) = ⋯ {\displaystyle \dotsb =V(x-2a)=V(x-a)=V(x)=V(x+a)=V(x+2a)=\dotsb } 結晶中の電子を表すハミルトニアンは、次のように位置に依存する演算子である。 H ^ ( x ) = p ^ 2 2 m + V ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}(x)={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)} ポテンシャルと同様に、このハミルトニアンも原子間の距離 a {\displaystyle a} だけの周期性を持つ。 ⋯ = H ^ ( x − 2 a ) = H ^ ( x − a ) = H ^ ( x ) = H ^ ( x + a ) = H ^ ( x + 2 a ) = ⋯ {\displaystyle \dotsb ={\hat {H}}(x-2a)={\hat {H}}(x-a)={\hat {H}}(x)={\hat {H}}(x+a)={\hat {H}}(x+2a)=\dotsb } ここで原子間の距離 a {\displaystyle a} だけの並進を行う操作を表す並進演算子を T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} とすると、 T a ^ { H ^ ( x ) ψ ( x ) } = H ^ ( x + a ) ψ ( x + a ) = H ^ ( x ) ψ ( x + a ) = H ^ ( x ) { T a ^ ψ ( x ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T_{a}}}\left\{{\hat {H}}(x)\psi (x)\right\}&={\hat {H}}(x+a)\psi (x+a)\\&={\hat {H}}(x)\psi (x+a)\\&={\hat {H}}(x)\left\{{\hat {T_{a}}}\psi (x)\right\}\end{aligned}}} ∴ T a ^ H ^ = H ^ T a ^ {\displaystyle \therefore {\hat {T_{a}}}{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T_{a}}}} すなわち T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} と H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} は互いに交換し、同時固有関数を持つ。 H ^ ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=E\psi (x)} T a ^ ψ ( x ) = C a ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {T_{a}}}\psi (x)=C_{a}\psi (x)} ― (1) ここで E {\displaystyle E} , C a {\displaystyle C_{a}} は H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} , T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} の固有値である。 ここで、この固有関数について周期を N a {\displaystyle Na} とする周期境界条件（ボルン=フォン・カルマン境界条件）を課す。 ψ ( x + N a ) = ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x+Na)=\psi (x)} ― (2) (1)式より、 T a ^ ψ = ψ ( x + a ) = C a ψ ( x ) ψ ( x + 2 a ) = C a 2 ψ ( x ) ⋮ ψ ( x + N a ) = C a N ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T_{a}}}\psi =\psi (x+a)&=C_{a}\psi (x)\\\psi (x+2a)&=C_{a}^{2}\psi (x)\\&\vdots \\\psi (x+Na)&=C_{a}^{N}\psi (x)\end{aligned}}} ― (3) ここで(2)式と(3)式を比べると、 C a N = 1 = e i 2 π n {\displaystyle C_{a}^{N}=1=e^{i2\pi n}} （ n {\displaystyle n} ：整数） ∴ C a = e i 2 π n / N {\displaystyle \therefore C_{a}=e^{i2\pi n/N}} ― (4) ここで k ≡ 2 π n N a {\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi {}n}{Na}}} と定義すると、(4)式は、 C a = e i k a {\displaystyle C_{a}=e^{ika}} となる。よって、 C a {\displaystyle C_{a}} の値を(1)式に代入すると、 ψ ( x + a ) = e i k a ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x+a)=e^{ika}\psi (x)} となる。 3次元の場合も同様に、格子が3方向に基本格子ベクトル a 1 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}} , a 2 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}} , a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{3}} を持ち、格子ベクトル R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} を R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {R}}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}} （ n 1 {\displaystyle n_{1}} , n 2 {\displaystyle n_{2}} , n 3 {\displaystyle n_{3}} ：整数） とすると、並進演算子 T R ^ {\displaystyle {\hat {T_{\boldsymbol {R}}}}} を用いて3次元でのブロッホの定理が証明される。 ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}}\psi ({\boldsymbol {r}})} ― (5) また、 u k ( r ) ≡ e − i k ⋅ r ψ k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})\equiv e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} によって定義した関数 u k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} は、(5)式より、 u k ( r + R ) = e − i k ⋅ ( r + R ) ψ k ( r + R ) = e − i k ⋅ r ψ k ( r ) = u k ( r ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})&=e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})\\&=e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})\\&=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})\end{aligned}}} となり、格子の周期性を持つ関数であることが示される。このことより、ブロッホ関数の一般形は、 u k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} を格子の周期性を持つ関数 u k ( r + R ) = u k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} として、 ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) {\displaystyle \psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} と表されることが証明された。
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定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:49 UTC 版)
「ブルバキ・ヴィットの定理」の記事における「定理の証明」の解説
y ∈ X を適当にとって固定し、順序数全体の類 On の上の関数 K: On → X を、 K(0) = y K(α + 1) = f(K(α)) と再帰的に定義する。β が極限順序数のときは、その定義の仕方から {K(α) | α < β} は、X の中の全順序部分集合であるから、 K(β) = sup{K(α) | α < β} と定義する。K: On → X は、単調増加関数である。仮に、K が狭義単調増加であれば、On から集合 X の中への単射となり、ハルトークスの補題と矛盾する。順序数 α, β について、α < β, K(α) = K(β) であれば、 K(α) = K(α + 1) = ⋯ = K(β) である。 x = K(α) とおけば、x = K(α) = K(α + 1) = f(K(α)) = f(x) である。
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