ほ‐だい【補題】
読み方：ほだい
⇒補助定理
補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/01 10:14 UTC 版)
数学において、「補助定理」(英: helping theorem) あるいは補題 (英: lemma) [注 1]とは、それ自体が興味深いステートメントと言うよりも、むしろ、より大きな結果を得る一歩として使われる、証明された命題である。
注
出典
- ^ Higham, Nicholas J. (1998) (英語). Handbook of Writing for the Mathematical Sciences. Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 16. ISBN 0-89871-420-6
- ^ Richeson, Dave (2008年9月22日). “What is the difference between a theorem, a lemma, and a corollary?” (英語). 2015年1月2日閲覧。
補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/21 14:08 UTC 版)
p : P → M が射影被覆であるとする。もし Q が射影加群で、全射 q : Q → M があれば、 Q = P ⊕ R となる ker q の部分加群 R が存在して、制限 q|P : P → M は射影被覆である。
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補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/26 04:05 UTC 版)
L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} である。この補題は算術級数定理の証明の要である。この補題については複数の証明が知られているが、ここでは全面的に複素関数論に頼りながら比較的簡潔な証明を示す。複素関数論の中でも次に挙げる事実が特に重要となる。 正則関数の列が一様収束するとき、その極限は正則関数である。 局所的に一致する正則関数は大域的にも一致する。 正則関数の零点の位数は整数である。 既に示したように、 L ( s , χ 0 ) {\displaystyle L(s,\chi _{0})} が s = 1 {\displaystyle s=1} に高々位数1の極を持つことを除き L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} は正の実軸上で正則である。従って、 λ ( s ) = ∏ χ L ( s , χ ) {\displaystyle \lambda (s)=\prod _{\chi }L(s,\chi )} は s = 1 {\displaystyle s=1} に高々位数1の極を持つことを除き正の実軸上で正則である。対数を取ると log λ ( s ) = log ∏ χ ∏ p 1 1 − χ ( p ) p − s = ∑ χ ∑ p log 1 1 − χ ( p ) p − s = ∑ χ ∑ p ∑ n ≥ 1 χ ( p n ) p − n s = ∑ p ∑ n ≥ 1 ∑ χ χ ( p n ) ( p n ) s = ∑ k ≥ 2 c k k s {\displaystyle {\begin{aligned}\log \lambda (s)&=\log \prod _{\chi }\prod _{p}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}\\&=\sum _{\chi }\sum _{p}\log {\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}\\&=\sum _{\chi }\sum _{p}\sum _{n\geq 1}\chi (p^{n})p^{-ns}\\&=\sum _{p}\sum _{n\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi (p^{n})}{(p^{n})^{s}}}\\&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s}}}\\\end{aligned}}} c k = { ∑ χ χ ( k ) , k ∈ { p n } 0 , otherwise {\displaystyle c_{k}={\begin{cases}\sum _{\chi }\chi (k),&k\in \{p^{n}\}\\0,&{\mbox{otherwise}}\\\end{cases}}} となるが、 { c k } {\displaystyle \{c_{k}\}} が有界であるから右辺は ℜ s > 1 {\displaystyle \Re {s}>1} で絶対収束する。 ∑ k ≥ 2 c k k s = ∑ k ≥ 2 c k k 2 k s − 2 = ∑ k ≥ 2 c k k 2 e − ( log k ) ( 2 − s ) = ∑ k ≥ 2 c k k ∑ m = 0 ∞ ( log k ) m m ! ( 2 − s ) m {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s}}}&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{2}k^{s-2}}}\\&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{2}}}e^{-(\log {k})(2-s)}\\&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\log {k})^{m}}{m!}}(2-s)^{m}\\\end{aligned}}} は少なくとも 1 < s < 2 {\displaystyle 1<s<2} で絶対収束するから、和の順序を交換してテイラー級数 ∑ k ≥ 2 c k k s = ∑ m = 0 ∞ ( ∑ k ≥ 2 c k ( log k ) m k ) ( 2 − s ) m m ! {\displaystyle \sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s}}}=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}(\log {k})^{m}}{k}}\right){\frac {(2-s)^{m}}{m!}}} が得られる。テイラー級数は収束円内で絶対収束するから、その収束円の半径を r {\displaystyle r} とすると、和の順序を交換した左辺のディリクレ級数も | 2 − s | < r {\displaystyle |2-s|<r} で収束する。しかし、 s = 1 / φ ( d ) {\displaystyle s=1/\varphi (d)} を代入すると、 ∑ k ≥ 2 c k k 1 / φ ( d ) = ∑ p ∑ n ≥ 1 ∑ χ χ ( p n ) ( p n ) 1 / φ ( d ) ≥ ∑ p ∑ m ≥ 1 ∑ χ χ ( p m φ ( d ) ) ( p m φ ( d ) ) 1 / φ ( d ) = ∑ p ∑ m ≥ 1 ∑ χ χ φ ( d ) ( p m ) ( p m ) = ∑ p ∑ m ≥ 1 φ ( d ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{1/\varphi (d)}}}&=\sum _{p}\sum _{n\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi (p^{n})}{(p^{n})^{1/\varphi (d)}}}\\&\geq \sum _{p}\sum _{m\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi (p^{m\varphi (d)})}{(p^{m\varphi (d)})^{1/\varphi (d)}}}=\sum _{p}\sum _{m\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi ^{\varphi (d)}(p^{m})}{(p^{m})}}=\sum _{p}\sum _{m\geq 1}\varphi (d)\end{aligned}}} となって発散する。従って、 r < 2 {\displaystyle r<2} である。 | 2 − s 0 | = r {\displaystyle |2-s_{0}|=r} となる特異点 s 0 {\displaystyle s_{0}} があり、 log λ ( s 0 ) = ∑ k ≥ 2 c k k s 0 {\displaystyle \log \lambda (s_{0})=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s_{0}}}}} は発散する。仮りに ℑ s 0 ≠ 0 {\displaystyle \Im {s_{0}}\neq 0} であるとすれば、 | ∑ k ≥ 2 c k k s 0 | ≤ | ∑ k ≥ 2 c k k ℜ s 0 | {\displaystyle \left|\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s_{0}}}}\right|\leq \left|\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{\Re {s_{0}}}}}\right|} であるから、 log λ ( s 0 ) {\displaystyle \log \lambda (s_{0})} が発散するためには log λ ( ℜ s 0 ) {\displaystyle \log \lambda (\Re {s_{0}})} が発散しなければならない。しかし、 ℜ s 0 {\displaystyle \Re {s_{0}}} は収束円の内部にあるから log λ ( ℜ s 0 ) {\displaystyle \log \lambda (\Re {s_{0}})} は収束する。従って、 ℑ s 0 = 0 {\displaystyle \Im {s_{0}}=0} である。 ∀ k , c k ≥ 0 {\displaystyle \forall {k},c_{k}\geq 0} であるから、級数が収束するかぎり、実軸上では log λ ( s ) ≥ 0 {\displaystyle \log \lambda (s)\geq 0} であり、 λ ( s ) ≥ 1 {\displaystyle \lambda (s)\geq 1} である。従って、 λ ( s 0 ) {\displaystyle \lambda (s_{0})} は極でなければならず、そのためには s 0 = 1 {\displaystyle s_{0}=1} であり、 L ( 1 , χ 0 ) = ∞ {\displaystyle L(1,\chi _{0})=\infty } であり、且つ、他は全て L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} でなければならない。
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補題 (Douglas)
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「作用素論」の記事における「補題 (Douglas)」の解説
A, B はヒルベルト空間 H 上の有界作用素で A∗A ≤ B∗B を満たすとする。このとき、A = CB を満たす縮小写像 C が存在する。さらに Ker(B∗) ⊂ Ker(C) ならば C は一意である。
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補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:39 UTC 版)
X がノルム線型空間で E は X の空でない任意の部分集合とする。
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補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/25 14:38 UTC 版)
「ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理」の記事における「補題」の解説
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補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/08 13:04 UTC 版)
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