正則関数
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複素解析における正則関数[注 1]（せいそくかんすう、英: regular analytic function[2]:124）あるいは整型函数[注 2][3]（せいけいかんすう、英: holomorphic function[注 3]）とは、ガウス平面上あるいはリーマン面上のある領域について、常に微分可能な複素変数、複素数値函数を指す[5][6][7]。
注釈
出典
- ^ a b 高木 2010, p. 216.
- ^ Carathéodory 2001, p. 124.
- ^ 岩波基礎講座シリーズ。例えば清水英男『保型関数』。ハーツホーン『代数幾何学』でもこの訳語が採用されている。
- ^ Weisstein, Eric W. “Holomorphic Function”. MathWorld. 2016年6月17日閲覧。
- ^ a b c d e f g 杉浦光夫、解析入門II、東京大学出版会。
- ^ a b c d e f g h 藤本坦孝、複素解析、岩波書店。
- ^ a b c d e f g 複素関数論、岸正倫・藤本坦孝 共著、学術図書出版社。
- ^ a b 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
- ^ a b Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71, en:Cambridge University Press, MR1688958
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Cauchy-Riemann Equations." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cauchy-RiemannEquations.html
- ^ a b c Cauchy-Riemann equations. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cauchy-Riemann_equations&oldid=31198
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Analytic Continuation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/AnalyticContinuation.html
- ^ a b c Analytic continuation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Analytic_continuation&oldid=24365
正則関数（regular function）
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正則関数
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詳細は「正則関数」を参照 正則関数とは、複素平面のある領域 D で定義され、定義域の全体で複素微分可能、つまり任意の a ∈ D に対し極限 f ′ ( z ) = d f d z = lim z → a f ( z ) − f ( a ) z − a {\displaystyle f'(z)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=\lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}} が定まる複素関数 f(z) をいう。複素関数については複素微分可能であることと解析的であること、つまり 任意の a ∈ D に対して複素係数のべき級数 ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n = c 0 + c 1 ( z − a ) 1 + c 2 ( z − a ) 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\left(z-a\right)^{n}=c_{0}+c_{1}(z-a)^{1}+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots } が定まり、 a から一定の距離（収束半径）の範囲でこの級数が収束して、 収束値が関数値 f(z) に一致すること が同値である。そのため、複素解析においては正則関数 (holomorphic function) 、複素微分可能関数 (complex differentiable function) 、解析関数 (analytic function) という用語は同義になる。複素関数が複素微分可能でない点を特異点 (singularity) という。
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