複素解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:29 UTC 版)
数学の一分野である複素解析（ふくそかいせき、英: complex analysis）は、複素数上で定義された関数の微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論などの総称であり[1]、関数論とも呼ばれる[2][3][4]。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、（流体力学などの）理論物理学、（数値解析[5][6]や回路理論[7]をはじめとした）工学などの多くの分野で用いられている。
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t 神保道夫、複素関数入門、岩波書店
- ^ 木村俊房, 高野恭一 (1991). 関数論. 朝倉書店.
- ^ 関数論上・下, 竹内端三 & 佐藤正孝、裳華房.
- ^ 近代関数論、能代清、岩波書店.
- ^ a b c d e 森正武 (1975). 数値解析と複素関数論. 筑摩書房.
- ^ a b c Peter Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Volume 1-3, Wiley Classics Library.
- ^ 大石進一, 回路理論, コロナ社.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
- ^ Weisstein, Eric W. "Conformal Mapping." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html
- ^ Terr, David. "Analytic Number Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/AnalyticNumberTheory.html
- ^ a b c d e f Agarwal, R. P., Perera, K., Pinelas, S. (2011), An Introduction to Complex Analysis, Springer.
- ^ 今井功. (1989). 複素解析と流体力学. 日本評論社.
- ^ a b c d L.V. アールフォルス (1982), 複素解析, 現代数学社
- ^ Weisstein, Eric W. "Logarithmic Singularity." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSingularity.html
- ^ 藤本坦孝. 複素解析. 岩波書店, 1996年.
- ^ 時弘哲治. 工学における特殊関数. 共立出版.
- ^ Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
- ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
- ^ Springer, G. (1957). Introduction to Riemann surfaces (Vol. 473). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
- ^ Hershel M. Farkas and Irwin Kra (1992), Riemann surfaces, Springer, New York.
- ^ Weisstein, Eric W. "Riemann Surface." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RiemannSurface.html
- ^ Riemann surface in nLab
- ^ Salomon Bochner and W. T. Martin Several Complex Variables (1948).
- ^ Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables (1992)
- ^ Volker Scheidemann, Introduction to complex analysis in several variables, Birkhäuser, 2005, ISBN 3-7643-7490-X
- ^ 大沢健夫 (2018). 多変数複素解析 (増補版). 岩波書店.
- ^ 倉田令二朗 著, 高瀬正仁 解説 (2015), 多変数複素関数論を学ぶ, 日本評論社.
- ^ 一松信, 多変数解析函数論. 培風館.
複素解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 19:21 UTC 版)
複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z は、C の全ての点で複素微分不可能である。 実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において exp ( z ¯ ) = exp ( z ) ¯ {\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}} log ( z ¯ ) = log ( z ) ¯ {\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}} （ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について） が成り立つ。
※この「複素解析」の解説は、「複素共役」の解説の一部です。
「複素解析」を含む「複素共役」の記事については、「複素共役」の概要を参照ください。
複素解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 22:24 UTC 版)
詳細は「リーマン球面」を参照 任意の立体射影において球面上の一点（射影点）は欠けてしまうけれども、相異なる二点に関する二つの立体射影を用いれば全球を写すことができる。言葉を変えれば、球面は平面からの二つの立体図式媒介表示（英語版）（立体射影の逆写像）によって被覆することができる。二つの媒介変数表示は球面上で同じ向きを持つように選ぶことができる。併せて、これらは球面を向き付けられた曲面（二次元多様体）として記述する。 この構成は複素解析において特に著しい意義を持つ。実平面上の点 (X, Y) を複素数 ζ = X + iY と同一視すれば、北極から赤道面への立体射影は ζ = x + i y 1 − z , {\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}},} ( x , y , z ) = ( 2 ℜ e ( ζ ) 1 + ζ ¯ ζ , 2 ℑ m ( ζ ) 1 + ζ ¯ ζ , − 1 + ζ ¯ ζ 1 + ζ ¯ ζ ) {\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2\operatorname {\Re e} (\zeta )}{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {\Im m} (\zeta )}{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right)} となる。同様に、別の複素座標 ξ = X − iY を取れば ξ = x − i y 1 + z , {\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}},} ( x , y , z ) = ( 2 ℜ e ( ξ ) 1 + ξ ¯ ξ , − 2 ℑ m ( ξ ) 1 + ξ ¯ ξ , 1 − ξ ¯ ξ 1 + ξ ¯ ξ ) {\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2\operatorname {\Re e} (\xi )}{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {\Im m} (\xi )}{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)} が南極から赤道面への立体射影を定義する。ζ-座標から ξ-座標への遷移写像は ζ = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1⁄ξ および ξ = 1⁄ζ で与えられ、ξ → ∞ のとき ζ → 0 であり、逆もまた然りである。これにより複素数に対するエレガントで有用な無限大の概念がえられ、これは実際に有理型函数の理論の全容をリーマン球面へ引き写すものになっている。単位球面上の標準リーマン計量はリーマン球面上のフビニ–スタディ計量に一致する。
※この「複素解析」の解説は、「ステレオ投影」の解説の一部です。
「複素解析」を含む「ステレオ投影」の記事については、「ステレオ投影」の概要を参照ください。
複素解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 10:05 UTC 版)
eiπ + 1 = 0（オイラーの等式） ∑ k = 0 n − 1 e i ⋅ 2 π k n = 0 {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}e^{i\cdot {\frac {2\pi k}{n}}}=0} （n は 2 以上の整数） 後者はオイラーの等式の一般化であり、1 の n乗根の総和は 0 になることを示している。n = 2 とするとオイラーの等式になる。
※この「複素解析」の解説は、「円周率」の解説の一部です。
「複素解析」を含む「円周率」の記事については、「円周率」の概要を参照ください。
複素解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/15 06:32 UTC 版)
与えられたような公式はより広く適用できる。例えば f(z) が有理型関数であれば、f が零点でも極でもないすべての複素数値 z において意味をなす。さらに、零点や極において対数導関数は n ≠ 0 を整数として特別な場合 zn の言葉で容易に分析できる方法で振る舞う。このとき対数導関数は n/z; であり次の一般的な結論を描くことができる。有理型関数 f に対して、f の対数微分の特異点はすべて一位の極であり、位数 n の零点から留数 n、位数 n の極から留数 −n。偏角の原理を見よ。この情報は周回積分でしばしば利用される。 ネヴァンリンナ理論（英語版）の分野において、重要な補題は次のことを述べている。対数導関数の proximity function はもとの関数の Nevanlinna characteristic に関して小さい、例えば m ( r , h ′ / h ) = S ( r , h ) = o ( T ( r , h ) ) {\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))} 。
※この「複素解析」の解説は、「対数微分」の解説の一部です。
「複素解析」を含む「対数微分」の記事については、「対数微分」の概要を参照ください。
複素解析
複素解析と同じ種類の言葉
固有名詞の分類
- 複素解析のページへのリンク
