微分法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/17 03:12 UTC 版)
数学における微分法（びぶんほう、英: differential calculus; 微分学）は微分積分学の分科で、量の変化に注目して研究を行う。微分法は積分法と並び、微分積分学を二分する歴史的な分野である。
- ^ ニュートンの研究は1666年に始まり、ライプニッツは1676年に始まる。が、ライプニッツが最初の論文を出すのが1684年で、1693年に出版のニュートンに先んじている。ライプニッツがニュートンの1673年か1676年の研究ドラフトを目にしたことや、あるいはニュートンがライプニッツの研究を自分の研究の洗練に用いたことなどは、可能性としてはあり得ることである。両者は互いに相手が自分の仕事を盗作したと主張した。この顛末は誰が微分積分学の創始者であるかを巡って両者の苦い論争となり、18世紀初頭の数学界に大きな衝撃を与えた。
- ^ 限定された特定の場合に関してはジェームス・グレゴリー (1638–1675) がすでに証明しており、いくつか重要な例に関してはピエール・ド・フェルマー (1601–1665) の仕事に見つけることができるとはいえ、これは記念碑的な到達点であった。
- ^ エウクレイデスの『原論』、アルキメデス・パリンプセストおよび O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Apollonius of Perga”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.を参照
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Aryabhata the Elder”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ Broadbent, T. A. A.; Kline, M. (October 1968). “Reviewed work(s): The History of Ancient Indian Mathematics by C. N. Srinivasiengar”. The Mathematical Gazette 52 (381): 307–8. doi:10.2307/3614212. JSTOR 3614212.
- ^ Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
- ^ J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165-9 & 173-4]
- ^ Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics. Saunders Series (6th ed.). Philadelphia: Saunders College Publishing
微分法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/10 23:50 UTC 版)
函数の微分は q-解析および h-解析のそれぞれに対して d q ( f ( x ) ) := f ( q x ) − f ( x ) {\displaystyle d_{q}(f(x)):=f(qx)-f(x)} および d h ( f ( x ) ) := f ( x + h ) − f ( x ) {\displaystyle d_{h}(f(x)):=f(x+h)-f(x)} と定義され、同様に導函数も q-微分（英語版） D q ( f ( x ) ) = d q ( f ( x ) ) d q ( x ) := f ( q x ) − f ( x ) ( q − 1 ) x {\displaystyle D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}:={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}} および h-微分 D h ( f ( x ) ) := d h ( f ( x ) ) d h ( x ) = f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle D_{h}(f(x)):={\frac {d_{h}(f(x))}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} が定まる。 注 これらの式が h → 0 の極限、あるいは同じことだが q → 1 の極限で、古典的な微分積分学における通常の微分を与えるものとなることが確認できる。
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微分法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 15:03 UTC 版)
二重数の一つの応用先として自動微分の理論がある。ここでは上記の実数体上の二重数を考える。任意の実係数多項式 P(x) = p0 + p1x + p2x2 + … + pnxn が与えられたとき、多項式函数の定義域を実数から二重数へ直接に拡張して P ( a + b ε ) = P ( a ) + b P ′ ( a ) ε {\displaystyle P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP^{\prime }(a)\varepsilon } を得る。ただし、P′ は多項式函数 P の導函数である。実数上ではなく二重数上で計算したことにより、この式を多項式の微分の計算に用いることができるようになった。より一般に、二重数の除法を定義して、f(a+bε) = f(a)+bf ′(a)ε で定まる二重数変数の超越函数の定義へ進むことができる。二重数上のこれらの函数の合成を計算して、その結果の ε の係数を調べることによって、その合成函数の導函数を自動的に計算することができる。
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