解析学
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解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である[1][2]。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす[3]。
注釈
出典
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao ap aq 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541
- ^ 小田稔ほか編、『理化学英和辞典』、研究社、1998年、項目「analysis」より。ISBN 978-4-7674-3456-8
- ^ 広辞苑第六版「数学」より。
- ^ 青本和彦、上野健爾、加藤和也、神保道夫、砂田利一、高橋陽一郎、深谷賢治、俣野博、室田一雄 編著、『岩波数学入門辞典』、岩波書店、2005年、「解析学」より。ISBN 4-00-080209-7
- ^ 一松信、『初等関数概説』、森北出版、1998年。ISBN 978-4-627-01751-1
- ^ 大辞林「解析学」より。
- ^ 溝畑茂、『解析学小景』 岩波書店、1997年1月。ISBN 4-00-005183-0。
- ^ a b 高瀬正仁訳、『オイラーの無限解析』、海鳴社、2001年。ISBN 4-87525-202-1
- ^ 解析という単語自体の意味が時代によって異なることに注意されたい。当時は初等代数の展開や因数分解のような演算のごとく、微積分も公式を用いてそのような初等代数と同様に計算できるようなものと認識されており、イプシロンデルタ論法にみられるような厳密化はまだであった。だが、オイラーも解析的(多項式で表せる函数)と初等超越函数との区別はしていたようである。詳細な議論は(長岡亮介 2000)などを参照。
- ^ a b P. G. L. Dirichlet, J. Reine Angew. Math., 4(1829), 157-169.
- ^ アンリ・ルベーグ著、吉田 耕作・松原 稔訳、解説・正田 建次郎、吉田 洋一監修、『ルベーグ積分長さ及び面積』、共立出版、〈現代数学の系譜3巻〉、1969年。ISBN 978-4-320-01156-4
- ^ 島内剛一、『数学の基礎』、日本評論社、〈日評数学選書〉、2008年。ISBN 978-4-535-60106-2
- ^ M.フレシェ 著、斎藤 正彦・森 毅・杉浦 光夫訳、『抽象空間論』、共立出版、〈現代数学の系譜 13巻〉、1987年。ISBN 978-4-320-01399-5
解析学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)
超実数を利用した微分方程式と差分方程式の対応は微分方程式論の研究やトロピカル幾何に応用されている。それ以外にも超積を利用した方法は解析学の様々な分野に応用されている（超準解析参照）。
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解析学
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解析学において、補助変数に依存する積分をしばしば考える。例えば F ( t ) = ∫ x 0 ( t ) x 1 ( t ) f ( x ; t ) d x {\displaystyle F(t)=\int _{x_{0}(t)}^{x_{1}(t)}f(x;t)\,dx} において t は左辺の函数 F の引数であるが、同時に右辺の積分がそれに依存してきまるという意味でパラメータである。右辺の積分の評価に際して t は一貫して「定数」として扱われる（つまり、その意味ではパラメータであると考えるべきである）。しかし F が t の異なる値に対して値をどう変えるかを知りたいならば t は変数として扱われなければならない。なお x は「積分変数」と呼ばれる見かけの変数 (dummy variable) である（これも紛らわしいことに積分のパラメータと呼ぶことがある）。
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解析学
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「アンドレイ・マルコフ」の記事における「解析学」の解説
ロシアの大数学者と同様、マルコフは解析の分野でも多くの業績を残している。マルコフの書いた論文の3分の1以上が解析学に関するもので、連分数、関数空間の極値問題、直交多項式、微分方程式など多くの問題を解いた。
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解析学
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「レオンハルト・オイラー」の記事における「解析学」の解説
解析学（無限小解析）においては膨大な業績があり、微分積分の創始以来最もこの分野の技法的な完成に寄与した。級数や連分数・母関数の方法・補間法や近似計算・特殊関数や微分方程式・多重積分や偏微分法など、古典的な解析学のあらゆる領域において基礎から応用に至る広い業績があり、自身の発見を教科書を通し広く一般に普及させた。膨大な量のため、彼の解析学における仕事、いわば公式一つ一つが完全に伝わっている訳ではなく、新たな公式の発見とされたことが実はオイラーの発見の再発見に過ぎなかった、ということがしばしば起きている。また、彼の名前は指数関数と三角関数の関係を与えるオイラーの公式・オイラー＝マクローリンの和公式・オイラーの微分方程式・オイラーの定数などに残っている。さらに複素数の変数を積極的に用いて、解析学に限らず数学全分野に大きな業績を残した。
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解析学
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「基底 (線型代数学)」の記事における「解析学」の解説
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメルに由来）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。 これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。 無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。有限個の例外を除く全ての項が 0 となる実数列全体の成す空間 c00 にノルム ‖x‖ = supn|xn| を入れたものを考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。 例 フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …} が、区間 [0, 2π] 上の実（または複素）数値自乗可積分函数、即ち ∫ 0 2 π | f ( x ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|f(x)|^{2}\,dx<\infty } を満たす函数全体の成す実（または複素）線型空間の「正規直交基底」となることを知るはずである。即ち、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …} は線型独立系であり、かつ区間 [0, 2π] 上自乗可積分な任意の函数 f が適当な実（または複素）係数 ak, bk に対して lim n → ∞ ∫ 0 2 π | a 0 + ∑ k = 1 n ( a k cos ( k x ) + b k sin ( k x ) ) − f ( x ) | 2 d x = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|a_{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))-f(x)\right|^{2}dx=0} を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の有限線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は連続の濃度をもつ）。この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の正規直交基底はフーリエ解析において本質的である。
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解析学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:41 UTC 版)
函数解析学において: バナッハ環（バナッハ代数）: 結合多元環を成すバナッハ空間 作用素環（作用素代数）: 位相線型空間上の連続線型作用素が写像の合成に関して成す多元環 *-環（星型環、*-代数）: しばしば随伴によって与えられる対合の概念を伴う多元環。C*-環（C*-代数）: 対合を伴うバナッハ環 フォンノイマン環（フォンノイマン代数、W*-環）
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解析学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/12 01:12 UTC 版)
17世紀にはじまった函数の概念は、新しい無限小解析の基礎付けとなった（函数概念の歴史（英語版）を参照）。当時は、実変数の実数値函数しか考えられておらず、どの函数も滑らかな函数であることが仮定されていたが、直に多変数函数や複素変数函数に定義が拡張されていった。19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され、任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた。 いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の基礎解析学では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは実解析や複素解析においてであろう。
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解析学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/14 05:45 UTC 版)
一次函数は（任意の多項式函数がそうであるように）連続かつ微分可能（とくになめらか）である。一次関数 f(x) = ax + b の導関数は f ′ ( x ) = a {\displaystyle f'(x)=a} という定数関数で、それより高階の導函数は常に 0 となる。特に傾き a が a = f′(0) として求められる。b = f(0) であるから、この一次関数を f ( x ) = f ′ ( 0 ) x 1 ! + f ( 0 ) 0 ! {\displaystyle f(x)={\frac {f'(0)x}{1!}}+{\frac {f(0)}{0!}}} の形に書けば、これは一次関数のテイラー展開に他ならない。また展開の中心を x = x0 に変更すれば f ( x ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})} となるが、これは上で通る二点 (x1, y1), (x2, y2) から定まる式として述べたものの、一方を他方に近づけた極限に等しい。あるいはこれは一次函数に関する平均値の定理を述べたものと看做すこともできる。 また f の原始関数の一つは F ( x ) := a x 2 2 + b x {\displaystyle F(x):={\frac {ax^{2}}{2}}+bx} で与えられる。
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