ノルム線型空間
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/23 05:08 UTC 版)
数学におけるノルム線型空間（ノルムせんけいくうかん、英: normed vector space; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間）または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う[1]。
- ^ Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X
- ^ Kedlaya, Kiran S. (2010), p-adic differential equations, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 125, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76879-5, Theorem 1.3.6
- 1 ノルム線型空間とは
- 2 ノルム線型空間の概要
- 3 定義
- 4 位相構造
- 5 線型写像と双対空間
- 6 関連項目
ノルム空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/13 01:26 UTC 版)
X を、R あるいは C のノルム線型空間とする。その連続双対、すなわち X から基礎体（base field）へのすべての連続線形写像からなる空間を、X ′ と表す。双対空間の記事において説明されるように、X ′ はバナッハ空間である。二重双対（double dual）X ′′ を、X ′ の連続双対で定義する。このとき、自然な連続線形変換 J : X → X ′′ を J(x)(φ) = φ(x) として、X 内のすべての x および X ′ 内のすべての φ に対して定義することが出来る。すなわち、J は x を、x において評価されるような X ′ 上の汎関数へと写す。ハーン-バナッハの定理に従い、J はノルム保存（すなわち、||J(x)|| = ||x||）であるため、単射である。J が全単射であるとき、空間 X は回帰的であると言われる（これはすなわち、回帰的なノルム空間はバナッハ空間であることを意味する。なぜならば X は完備空間 X ′′ と等長であるからである）。空間 X が（位数 d で）準回帰的であるとは、X ′′/J(X) の次元 d が有限であることを言う。
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ノルム空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 07:31 UTC 版)
重要な特別な場合はノルム空間の場合である。この場合線型埋め込みを考えるのが自然である。 有限次元ノルム空間 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} について問うことのできる基本的な問題の1つは、ヒルベルト空間 ℓ 2 k {\displaystyle \ell _{2}^{k}} を定数 distortion で X に線型に埋め込めるような最大の次元 k は何か？である。 答えはドヴォレツキーの定理（英語版）によって与えられる。
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