半ノルム空間の商
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:16 UTC 版)
多くのノルム空間（特にバナッハ空間）の定義として、まずベクトル空間上に半ノルムを定義して、それから半ノルム 0 の元の成す部分空間による商空間としてノルム空間を作るという方法が見られる。例えば、Lp-空間は ‖ f ‖ p = ( ∫ | f ( x ) | p d x ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int |f(x)|^{p}\;dx{\Bigr )}^{1/p}} で定義される函数を半ノルムとする、右辺のルベーグ積分が定義されて有限となる函数全体の成す線型空間である。ただし、ルベーグ測度に関する零集合上に台を持つ任意の函数は、半ノルム 0 である。そのような函数の全体は部分空間を成すが、その部分空間で「割って」しまえば、それらの函数は全て零函数に同値とすることができる。
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