ノルム空間、バナッハ空間、内積空間、ヒルベルト空間

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ノルム空間、バナッハ空間、内積空間、ヒルベルト空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/12 03:22 UTC 版)

「空間 (数学)」の記事における「ノルム空間、バナッハ空間、内積空間、ヒルベルト空間」の解説

ユークリッド空間におけるベクトルの全体は線型空間を成すが、さらに各ベクトル x は「長さ」、つまりノルム ‖x‖ を持つ。ノルムを備えた（実または複素）線型空間はノルム空間と呼ばれる。任意のノルム空間は、位相線型空間でも距離空間でもある。完備なノルム空間はバナッハ空間という。多くの数列空間や函数空間が無限次元のバナッハ空間を成す。 ノルムが 1 より小さいベクトル全体の成す集合はノルム空間の単位球体と呼ばれる。これは凸かつ点対称な集合で一般には楕円体でない（例えば、平面上である種のノルムを考えたとき、その単位球体は多角形になりうる）。ノルム空間において、中線定理 ‖x − y‖2 + ‖x + y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 は一般には成立しない。これがユークリッド空間のベクトルに対しては成立するのは、ユークリッド空間において、各ベクトルのユークリッドノルムの平方が同ベクトル二つの内積に一致するという事実による。 内積空間は、内積と呼ばれる特定の条件を満足する双線型形式（または半双線型形式）を備えた実または複素線型空間である。任意の内積空間はノルム空間であるが、逆にノルム空間が内積空間であるための必要十分条件は、中線定理が成立すること、あるいは同じことだがその単位球体が楕円体となることである。ベクトルの成す角は内積空間において一般に定義される。ヒルベルト空間は完備な内積空間として定義される（文献によってはヒルベルト空間として複素線型空間であることを要求するものもあるが、実ヒルベルト空間を考えるものもある）。多くの数列空間や函数空間が無限次元のヒルベルト空間を成す。ヒルベルト空間は量子論において非常に重要である。 n-次元実内積空間はどれも互いに同型である。n-次元ユークリッド空間は n-次元内積空間から原点を忘れたものということができる。