位相構造
位相空間
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/10 08:48 UTC 版)
数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合Xに位相（topology）と呼ばれる構造を付け加えたもので、この構造はX上に収束性の概念を定義するのに必要十分なものである[注 1]。
注釈
- ^ a b ただしここで言う「収束性」は点列の収束性ではなくより一般的な有向点族の収束性である。
- ^ a b c ℓpノルム、Lpノルム、に関連するノルムとして、ℓpノルム 、 L∞ノルム、 があり、これらは、でp→∞としたものに一致する。同様にソボレフノルムでp→∞としたノルム も定義可能である。
- ^ 距離から定まる位相はハウスドルフ性と正規性を満たすが、密着位相はハウスドルフ性を満たさない。また補有限位相や補可算位相においては空でない任意の開集合の閉包は全体集合であるため、任意x, y ∈ Xの任意の閉近傍は全体集合になってしまう為正規性を満たさない。
- ^ ザリスキー位相はハウスドルフ性を満たさないから。
- ^ より厳密に言うと、有向集合(Λ,≤)と、ΛからXへの写像x : Λ→Xの組の事をΛを添字集合とする有向点族と呼ぶ
![{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ec8d3328fafa9f77e55d0026a5792242d213f5)
![{\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{\ell <k}\sup _{x\in [0,1]}|f^{(\ell )}(x)|}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1712020c28b95b384db1d13e58260ba53a3c0bb3)
出典
- ^ 平場誠示. “解析学III 関数解析”. 東京理科大学. p. 6. 2021年2月5日閲覧。
- ^ a b c d e f g h i j k #内田 pp.68-73.
- ^ a b #内田 p.71.
- ^ a b 位相空間#Kelly p.43.
- ^ a b c d #内田 pp.73-74.
- ^ a b c d e #内田 pp.79-83.
- ^ a b c #Kelly pp.65-66.
- ^ a b #Schechter 7.6
- ^ #Kelly p.70.
- ^ a b c “net”. nLab. 2021年2月8日閲覧。
- ^ a b #Schechter 7.14
- ^ #Kelly p.67.
- ^ a b c Kelly p66
- ^ a b #Kelly p.69.
- ^ a b #Schechter 15.10.節 pp.413-414.
- ^ #Kelly pp.73-75.
- ^ a b c Kelly p86
- ^ #内田 p.95
位相構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/02 09:20 UTC 版)
ユークリッド空間は距離空間であるから、距離から誘導される自然な位相を持った位相空間でもある。En 上の距離位相は、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる。すなわち、ユークリッド空間の部分集合が開集合であるための必要十分条件は、その部分集合に属する各点に対して、それを中心とする適当な大きさの開球体をその部分集合が必ず含むことである。ユークリッド位相は、Rn を（標準位相を備えた）実数直線 R の n 個のコピーの直積と見たときの直積位相と同値であることが確かめられる。 ユークリッド空間の位相的性質について、「En の部分集合は、それがある開集合に同相となるものならばそれ自身が開集合である」というブラウウェルの領域の不変性定理（英語版）が知られている。またその帰結として、n ≠ m ならば En と Em は互いに同相でないことが示せる。これは明白な事実のようであるが、それでいて証明するとなるとそれは容易ではない。
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位相構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:18 UTC 版)
Rn の標準位相、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる位相は、定義節に言うように単に直積集合と見ただけでは出てくる構造ではない。これはユークリッド距離の誘導する自然な位相（英語版）に一致する。すなわち Rn の部分集合が開であるとは、その部分集合の各点においてその点を中心とする適当な開球体をその部分集合が必ず含むことをいう。Rn は位相線型空間でもあり、線型構造と両立することのできる（非自明な）位相はただ一つ存在する。 Rn の位相次元は n である。Rn の位相に関する表面的でない重要な結果の一つがブラウワーの領域不変性（英語版）である。Rn の部分集合（に部分空間の位相を入れたもの）で Rn の別の開部分集合に同相となるものは、それ自身が開である。ここから直ちに Rm と Rn は m ≠ n のとき同相でないことが帰結される（これは直観的には明らかだが証明するのは難しい）。 位相次元が異なるにも拘らず、および素朴な予測に反して、低次元の数空間を Rn の上に連続的に写すことができる。連続的（だが滑らかでない）空間充填曲線（R1 の像）が可能である。
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位相構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:16 UTC 版)
詳細は「ノルム位相（ドイツ語版）」を参照 (V, || • ||) がノルム空間ならば、ノルム || • || は距離函数（および距離の概念）を誘導し、V 上の位相を定義する。この距離函数は自然な仕方で定義される（すなわち、二つのベクトル u, v の絶対差（英語版） || u − v || で与えられる）。この位相は、ちょうど || • || を連続にする最弱の位相であり、以下の性質 ベクトルの加法（英語版） +: V × V → V はこの位相に関して二変数の連続写像である（これは三角不等式から直接に従う）。 スカラー乗法（英語版） ⋅: K × V → V はこの位相に関して二変数の連続写像である（これは三角不等式とノルムの斉次性から従う）。ここに K は V の係数体とする。 が成り立つという意味で V の線型構造とも両立する。 同様に、半ノルム空間においても p(u − v) とおけば擬距離空間の構造が入り、連続性や極限などの概念を定義することができるようになる。もう少し抽象的に言えば、任意の半ノルム空間は位相線型空間であり、半ノルムの誘導する位相構造が入る。 特別な興味がもたれるのは完備なノルム空間で、バナッハ空間と呼ばれる。任意のノルム線型空間 V は適当なバナッハ空間に稠密部分空間として含まれる。そのようなバナッハ空間は V に対して本質的に一意に定まり、V の完備化と呼ばれる。 有限次元線型空間の全てのノルムは、それが同じ位相を誘導するという位相的な観点から同値である（ただし、得られる距離空間は同じとは限らない）。また、任意のユークリッド空間は完備であるから、任意の有限次元ノルム空間がバナッハであることが帰結できる。ノルム空間 V が局所コンパクトとなるための必要十分条件は、単位球体 B = {x : || x || ≤ 1} がコンパクトとなることであり、それはまた V が有限次元であることと同値である（これはリースの補題の帰結である）。実はより一般の結果として「位相線型空間が局所コンパクトとなるための必要十分条件は、それが有限次元となることである」が成り立つ。 半ノルム空間の位相は多くの良い性質を満足する。零ベクトル 0 の近傍系 N(0) は、各点 x の近傍系を N ( x ) = x + N ( 0 ) := { x + N ∣ N ∈ N ( 0 ) } ( x + N := { x + n ∣ n ∈ N } ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N\mid N\in {\mathcal {N}}(0)\}\quad (x+N:=\{x+n\mid n\in N\})} とおくことにより構成できる。さらに、併呑凸集合からなる 0 の近傍基が存在する。この性質があることは函数解析学において有用であり、ノルム空間を一般化する概念としてこの性質を満足するような位相線型空間を局所凸空間と呼ぶ。 「半ノルム」および「局所凸空間」も参照
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位相構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/09 21:15 UTC 版)
円周群は単に抽象代数的対象であるだけでなく、複素数平面の部分空間としての自然な位相（英語版）を持つ。乗法および反転が C× 上の連続写像となることから、円周群は位相群の構造を持つ。さらに、単位円は複素数平面の閉集合であるから、円周群は位相群としての C× の閉部分群となる。 もっと言えば、円周群は一次元実多様体で、乗法および反転は円周群上の実解析的写像となるから、円周群はリー群の実例としての一径数群（英語版）の構造を持つ。実はこれは、同型を除いて唯一の一次元コンパクト連結リー群である。さらに、任意の n次元コンパクト連結可換リー群は Tn に同型となる。
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