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基底 (線型代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/01 04:01 UTC 版)

線型代数学における基底（きてい、英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である^[1]。

脚注

注釈

^ $\operatorname {span} (S)$ は $S$ の線形結合で定義づけられる。ゆえに ${\boldsymbol {v_{1}}}\not \in \operatorname {span} (S)$ は線形結合で表現できない。
^ 一次独立条件式 $0=c_{+1}{\boldsymbol {v_{1}}}+\sum _{{\boldsymbol {s}}\in S}c_{s}{\boldsymbol {s}}$ で $c_{+1}\neq 0$ と ${\boldsymbol {v_{1}}}\not \in \operatorname {span} (S)$ が矛盾することから明らか
^ 有限ベクトル空間 $V$ は要素数有限の生成系で張られる
^ $S_{+n}\subseteq T$ より $\operatorname {span} (S_{+n})\varsupsetneq \operatorname {span} (T)=V$ は成立し得ない
^ 有限次元ベクトル空間の定義から $T$ の元は有限個であり、取り出す操作は必ず有限回で終了する。
^ ${\boldsymbol {v_{1}}}\neq {\boldsymbol {0}}$ 下で $c_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}={\boldsymbol {0}}$ を満たすのは $c_{1}=0$ のみ。
^ "生成系内の基底延長定理" でも $S_{1}=\{{\boldsymbol {v_{1}}}\in T|{\boldsymbol {v_{1}}}\neq {\boldsymbol {0}}\}$ とすることで同様に証明できる。

出典

^ ^a ^b "ベクトルの集合 ... が V の基底であることは ... V を生成 ... 一次独立 ... の二つの条件を満たしていることと同値である。多くの本が、こちらを定義に採用している。" 松本. (2015). 行列を知らない人のための線形代数学入門. 広島大学.
^ Halmos, Paul Richard (1987) Finite-dimensional vector spaces (4th edition) Springer-Verlag, New York, page 10, ISBN 0-387-90093-4
^ "基底の延長定理 ... Voを ... Vの一次独立なベクトルとする ... Voにいくつかのベクトル ... を加えた集合 ... をVの基底とすることができる" 丹下. (2015). 線形代数II演習第5回 -基底の延長、補空間-. 筑波大学, 線形代数II演習.
^ "V を有限次元ベクトル空間、S ⊂ V を１次独立である部分集合、S ⊂ T ⊂ V を V を生成する部分集合とする。そのとき、V は、S ⊂ B ⊂ T を満たす基底 B を持つ。" Hesselholt. (2012). 数学通論 II 基底と次元. 名古屋大学.
^ "基底の存在定理有限次元ベクトル空間 V != {0} には基底が存在する。" 東京工業大学. (2013). 基底の存在と次元.
^ Hamel 1905
^ http://www.scielo.cl/pdf/proy/v26n3/art01.pdf
^ Notes on geometry, by Elmer G. Rees, p. 7
^ Some remarks about additive functions on cones, Marek Kuczma

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そして記念碑の基底部分には願い事が刻まれている。
家族はピラミッド型社会経済組織の基底をなすものである.
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