記数法とは? わかりやすく解説

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きすう‐ほう〔‐ハフ〕【記数法】

読み方:きすうほう

数字使って数を表す方法一般には、アラビア数字使った十進法による位取り記数法用いられる


記数法

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記数法(きすうほう)は、適当な文字記号と一定の規則を用いてを表現する方法のこと。




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二十四進法」の記事における「記数法」の解説

二十四進記数法とは、24 を底とする位取り記数法である。慣用従い通常のアラビア数字十進数とし、二十四進記数法の表記括弧および下付24 で表す。二十四進記数法で表された数を二十四進数と呼ぶ。 一般には、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N の 24 個の数字用いる。右端あるいは小数点で 1 のを表す。数字の意味する数は、左に 1 ずれると 24 倍になり、右に 1 ずれると 1/24 になる。(11)24 という表記において、左の「1」は二十四を表し、右の「1」は一を表し合わせて二十五を表す。I と 1 および O と 0 は紛らわしいので、18 から 23 を表すのに I, J, K, L, M, N の代わりに J, K, L, M, N, P を用いることもある。 同様に二十四進記数法では (50)24120 (5×241) を、(100)24576 (1×242) を意味する

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十一進法」の記事における「記数法」の解説

十一進記数法は、十一を底とする位取り記数法である。十一進法位取りでは、通常では 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A の計十一個の数字用い、十までを A までに充てて、十一10十二11表記する数字の意味する数は、左に一桁ずれると 11倍になり、右に一桁ずれると 1/11 になる。例えば、(17)11 という表記において、左の「1」は十一表し、右の「7」は七を表し合わせて十八」を意味する表示は、整数第二位は「十一の位」、整数第三位は「百二十一の位」となる。 ISBN

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三十進法」の記事における「記数法」の解説

三十進記数法とは、30 を底とする位取り記数法である。慣用従い通常のアラビア数字十進数とし、三十進記数法の表記括弧および下付30 で表す。三十進記数法で表された数を三十進数と呼ぶ。 一般には、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T の 30 個の数字用いる。右端あるいは小数点で 1 のを表す。数字の意味する数は、左に 1 ずれると 30 倍になり、右に 1 ずれると 1/30 になる。(11)30 という表記において、左の「1」は三十表し、右の「1」は一を表し合わせて三十一を表す。I と 1 および O と 0 は紛らわしいので、18 から 29 を表すのに I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T の代わりに J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, U, V を用いることもある。 同様に三十進記数法では (40)30120 (4×301) を、(100)30900 (1×302) を意味する

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十三進法」の記事における「記数法」の解説

十三進記数法は、十三を底とする位取り記数法である。十三進法位取りでは、通常では 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C の計十三個の数字用い、十、十一十二 までを A、B、C までに充てて、十三10十四11表記する数字の意味する数は、左に一桁ずれると 13倍になり、右に一桁ずれると 1/13 になる。例えば、(16)13 という表記において、左の「1」は十三表し、右の「6」は六を表し合わせて十九」を意味する表示は、整数第二位は「十三の位」、整数第三位は「百六十九の位」となる。 コンウェイ十三進法関数(英語: Conway base 13 function),ジョン・ホートン・コンウェイ

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エジプト数学」の記事における「記数法」の解説

古代エジプトには、ヒエログリフ神聖文字)、ヒエラティック神官文字)、デモティック民衆文字)の三種類の文字存在した十進法であり、十の累乗数について7乗(一千万)までの絵文字がある。ヒエラティックはより実用的で、符号化された記数法の概念みられるヒエラティックヒエログリフよりも必要な文字数少なく、またパピルス普及もあり、ヒエラティックヒエログリフに取って代わるようになったアーメス・パピルスモスクワ・パピルスでもヒエラティック使われている。 十の累乗数を表すヒエログリフ一十百千一万十万百万

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インドの数学」の記事における「記数法」の解説

インド命数法」も参照 1世紀頃のブラーフミー数字 紀元前3世紀前より、インド数字アラビア数字祖先となるブラーフミー数字用いられていた。当時は0を用いた位取り記数法ではなく10倍数ごとに別の数字があった。ブラーマグプタは、628年の『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』において、「膨れ上がった」「うつろな」を意味する サンスクリット語: शून्य, śūnyaシューニャ 膨れ上がった物は中が空であるとの考え方による)すなわち「0」と他の整数との加減乗除概念正式に用いた850年頃には、現代数字に近いグワリオール数字完成し、0から9までの10個の記号で表すようになった

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バビロニア数学」の記事における「記数法」の解説

六十進法による位取り記数法作りあげ、バビロニア数学発展の基になった紀元前3000年頃のシュメール時代の記数法には系統的な六十進法はなかったが、紀元前2000年頃に「一」と「十」を表す記号によって六十進記数法用いられるようになった。これにより、星の運行計算などを行う天文学分野発展したほか、分数簡潔な表現も可能とし、小数概念存在した空位となる場所に保持するための記号は、セレウコス朝時代の前から見られるが、「」を表すことはなかった。

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十進法」の記事における「記数法」の解説

十進記数法とは、十 を底とする位取り記数法である。現代社会において、数の表記広く使われている文字体系は、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 からなる 10 個のアラビア数字用い十進記数法である。 各アラビア数字自然数 0、1、・・・、9 の数値に対応させ、 a m a m − 1 ⋯ a 1 a 0 . b 1 b 2 ⋯ b k {\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{1}a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{k}} という数字列で表現する。(ただし、 a ∗ {\displaystyle a_{*}} 、 b ∗ {\displaystyle b_{*}} はそれぞれの 0 から 9 を示すいずれか数字であり、 a m ≠ 0 {\displaystyle a_{m}\neq 0} とする) この数字列が、 a m × 10 m + a m − 1 × 10 m − 1 + ⋯ + a 1 × 10 + a 0 + b 1 10 + b 2 10 2 ++ b k 10 k {\displaystyle a_{m}\times 10^{m}+a_{m-1}\times 10^{m-1}+\cdots +a_{1}\times 10+a_{0}+{\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{k}}{10^{k}}}} という数値であることを表す。 別の位取り記数法区別する場合には、(15)10 というように十進表記括弧および下付10区別するこの他算木十進記数法であるが、現在は用いられていない。しかし、算木から変化した蘇州号碼は現在も香港など僅かに使われている。 そろばん十進法と同じ仕組みだが、文字として表記することはない。十進法のうち、五倍→二倍→五倍→二倍…の循環繰り上げる方法は、正確には「二・五進法」という。 ローマ数字漢数字ヒエログリフエジプト数字)などは、十を「10ではなく新しい文字として表現するが、十進法基本にしている。 十進法という考え方古代からあったとみられる日本須玖岡本遺跡福岡県春日市)からは、弥生時代分銅のように重量計るため使われ(けん)という石器出土しており、基準となる十倍重さのものが見つかっている。

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十六進法」の記事における「記数法」の解説

十六進記数法とは、十六を底とする位取り記数法である。 位取り記数法(N進位取り記数法)では、まず基数base集合基数cardinal)とは異なる)となる自然数 N に対して、 0、1、・・・、N-1数値対応する数字の記法を対応させるので、下表のようにする(A〜F を英小文字にする場合もある)。 十六進数記法の対応十進法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 十六進法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 次に、これらを用いて a m a m − 1 ⋯ a 1 a 0 . b 1 b 2 ⋯ b k {\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{1}a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{k}} という数字列で表現する。(ただし、 a ∗ {\displaystyle a_{*}} 、 b ∗ {\displaystyle b_{*}} はそれぞれの 0 から F の数字であり、 a m ≠ 0 {\displaystyle a_{m}\neq 0} とする) この数字列が、 a m × 16 m + a m − 1 × 16 m − 1 + ⋯ + a 1 × 16 + a 0 + b 1 16 + b 2 16 2 ++ b k 16 k {\displaystyle a_{m}\times 16^{m}+a_{m-1}\times 16^{m-1}+\cdots +a_{1}\times 16+a_{0}+{\frac {b_{1}}{16}}+{\frac {b_{2}}{16^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{k}}{16^{k}}}} という数値であることを表すものである上記数字列の先頭にマイナス符号「-」付けることで負数表現できる表記する方法は、20世紀半ばまで人やグループごとに異なっていて定まっていなかった(#初期表記法)が、20世紀後半コンピュータ普及して以降、つまりここ数十年は一般には、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F の計十六個の文字数字として用いることが定着している。 下記では慣用従い通常のアラビア数字十進表記とし、十六進記数法での表記( )16括弧および下付き16)で表す。 十六進法から十進法への計算例 (2C.4A)16=2×16 + 12 + 4×(1/16) + 10×(1/16^2) = 32+12+0.25+0.0390625=44.2890625

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三十六進法」の記事における「記数法」の解説

三十六進記数法とは、36 を底とする位取り記数法である。慣用従い通常のアラビア数字十進数とし、三十六進記数法表記括弧および下付36 で表す。三十六進記数法表された数を三十六進数と呼ぶ。 一般には、0, 1, …, 8, 9(アラビア数字10種類)および、A - ZISO基本ラテンアルファベット26種類)の合計36種類文字数値表わすA - Z は、それぞれ十進法での 10 - 35 を表す。下表の値は Microsoft ExcelBASE 関数実行結果準拠する00 99 18I 27R 11 10A 19J 28S 22 11B 20K 29T 33 12C 21L 30U 44 13D 22M 31V 55 14E 23N 32W 66 15F 24O 33X 77 16G 25P 34Y 88 17H 26Q 35Z 右端あるいは小数点で、一のを表す。数字の意味する数は、左に一桁ずれると三十六倍になり、右に一桁ずれると三十六分一になる。(24)36 という表記において、左の「2」は 七十二 を表し、右の「4」は 四 を表し合わせて 七十六 を表す。 同様に、(M0)3622×361 + 0×360 = 七百九十二 を表し、(B7)36 = 11×361 + 7×360 = 四百三 を表す。 アルファベットの I と数字の 1 、およびアルファベットの O と数字の 0 は混同しやすいため、筆記場合は、斜線付きゼロを使うなど工夫が必要である。また、印字場合でも、区別付きにくいフォント使用避け必要がある

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九進法」の記事における「記数法」の解説

九進記数法とは、9 を底とする位取り記数法である。九進法では、0から8までの八種類数字用い、九を10以降も、十進法1820十進法2730十進法3235必要に応じ、九進記数法の表記括弧および下付の 9、十進記数法表記括弧及び下付き10 で表す。九進記数法で表された数を九進数と呼ぶ。 整数の表記も、九進法では以下のようになる(16)10 = 17(1×9 + 5) (19)10 = 21(2×9 + 1) (31)10 = 34 (3×9 + 4) (36)10 = 40(4×9)

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八進法」の記事における「記数法」の解説

八進記数法とは、8 を底とする位取り記数法である。八進法では、0から7までの八種類数字用い、八を10、九を11(八一)、十を12(八二)…と表記する以降も、十進法1620 (二八)、十進法2430 (三八)、十進法3036 (三八六) となる。このように、「八が10になる」記数法が八進法であり、「一桁数字が8まで」なのはその次の九進法である。 必要に応じ、八進記数法の表記括弧および下付の 8、十進記数法表記括弧及び下付き10 で表す。八進記数法で表された数を八進数と呼ぶ。 整数の表記も、八進法では以下のようになる(13)10 = 151×8 + 5) (16)10 = 20(2×8) (27)10 = 33 (3×8 + 3) (32)10 = 40(4×8) (49)10 = 61(6×8 + 1) (64)10 = 100(1×82) (81)10 = 121(1×82 + 2×81 + 1)= (100)9 (100)10 = 144(1×82 + 4×81 + 4) (216)10 = 330(3×82 + 3×81)= (1000)6 (320)10 = 500(5×82) (512)10 = 1000(1×83) (729)10 = 1331(1×83 + 3×82 + 3×81 + 1)= (1000)9 (1000)10 = 1750(1×83 + 7×82 + 5×81) (1944)10 = 3630(3×83 + 6×82 + 3×81)= (13000)6 (2000)10 = 3720(3×83 + 7×82 + 2×81) (2048)10 = 4000(3×83 + 7×82 + 5×81 + 1) (2187)10 = 4213(4×83 + 2×82 + 1×81 + 3)= (3000)9 (2560)10 = 5000(5×83) (4096)10 = 10000(1×84)= (5551)9 (7776)10 = 17140(1×84 × 7×83 + 1×82 + 4×81 + 1)= (100000)6 10となる八は2の3乗なので、二進法の 3 八進法の 1 表現できた。初期のコンピュータでは1文字は6ビット、すなわち八進法 2 であり、ワード長も6の倍数であることが多かったため(IBM 709036ビットCDC 600060ビットPDP-812ビットPDP-718ビット)、八進法によって表現するのが都合よく、コンピュータ業界ではかつて八進法広く使われた。C や Perl などでは、数の前に 0 を付けると八進数見なされる例え011(11)10 ではなく (11)8 すなわち 9 である。しかし、計算機ワード長8 ビットオクテットからなるバイト倍数によって構成されることが一般的になると、二進数 4 桁1 つにまとめた十六進数のほうが切りがよいため八進法使われることは少なくなった。

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二進法」の記事における「記数法」の解説

二を底とする位取り記数法二進記数法と呼ぶ。混乱を防ぐために二進法であることを示す場合には、下付の 2 を用いて (110)2 などとすることがある二進記数法で、 a N a N − 1 … a 1 a 0 . a − 1 a − 2 … {\displaystyle a_{N}a_{N-1}\ldots a_{1}a_{0}.a_{-1}a_{-2}\ldots } (各位の値 ai は 0 か 1)と表される数は二進法の定義から、 a N 2 N + a N − 1 2 N − 1 + ⋯ + a 1 2 + a 0 + a − 1 2 + a − 2 2 2 + ⋯ {\displaystyle a_{N}2^{N}+a_{N-1}2^{N-1}+\cdots +a_{1}2+a_{0}+{a_{-1} \over 2}+{a_{-2} \over 2^{2}}+\cdots } という数を表している(ここで 2 は十進法の 2 である)。 「二進記数法で記された数」という意味として二進数という語が使われることがある。しかし、二進数という数の体系例えば「整数」といったような)があるわけではないまた、p進数における p = 2場合とは全く異なる。 二進法用いれば 0 と 1 の二種類数字のみを含む任意の自然数表現可能であり、負号合わせることで整数表現可能である。更に小数点合わせて四種類の記号のみ実数の表現が可能である。 別の言い方をすると、「もし数字が 0 と 1 しか無かったら」を実現した方法二進法である。

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十五進法」の記事における「記数法」の解説

十五進記数法とは、15 を底とする位取り記数法である。慣用従い通常のアラビア数字十進数とし、十五進記数法の表記括弧および下付15 で表す。十五進記数法で表された数を十五進数と呼ぶ。 一般には、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E の 15 個の数字用いる。右端あるいは小数点で 1 のを表す。数字の意味する数は、左に 1 ずれると 15 倍になり、右に 1 ずれると 1/15 になる。(11)15 という表記において、左の「1」は十五表し、右の「1」は一を表し合わせて十六を表す。 同様に十五進記数法では (50)1575 (5×151) を、(100)15225 (1×152) を意味する

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「数」の記事における「記数法」の解説

数を如何にして数字に表すかという方法は記数法と呼ばれる。同じ数が、さまざまな記数法ごとに異な表示をもつことは珍しいことではない。以下の記事参照のこと。 分数表記 小数表指数表記 N進表記 例えば十進法表記)の「255」は、十六進法では「FF」と記述され二進法では「1111 1111」と記述される。「255」と「FF」と「1111 1111」では、見た目感覚的印象)はかなり異なるが、あくまで同じ数の概念表している。 なお人類は、古代ではさかんに十二進法六十進法用いてきた歴史がある。次第用いられることが減ってきたが、現代でも時間時刻表示法時・分・秒)や、緯度・経度表示法等々等々用いられている。十二進法は、はるか昔、古代バビロニア時代から用いられていたわけだが、どうして十二進法用いられるようになったのか?に関してはいくつかの説(仮説)があり、『(天球上で太陽軌道位置が元の位置戻ってくるまでの間に、つまり1年の間に(ざっくりと言うと)月が12まわり 変化する古代では太陰暦のほうが標準的用いられていたので、「12」という概念用いてものごと数えることがしばしば行われたのだ』という説や、『(バビロニアなどでは)数を数え時に親指用いず)、(類似の構造を持つ)人差し指中指薬指小指の4本を用いそれぞれの指にある3つの関節(あるいは、関節関節の間の平らな面)をひとつずつ指しながら数を数えたので、結果として、4(本) x 3(関節) = 12、が「ひとまとまり」や「ひと区切りとなったからだ。』といった説(また、それらが相互に助け合って古代人社会では十二進法使用推進されさかんに用いられた、などという説)が主流である。(ちなみにヘブライ人12を「ひとまとまり」や「全部」と捉える発想持っておりヘブライ語聖書登場する十二部族」は、単なる12個の部族というだけでなく、「全ての部族」という意味を持っているこうした天体動きや暦や人類身体の構造などが、現代にまで使われつづける記数法を生んでおり、(文化的にひとつひとつの数に与えられている意味、意味付け、にも影響している。) 近・現代では、概して言えば十進法表記用いられていることが多い。理屈の上では、さまざまな記数法を採用しうるのに、(また、必ずしも十進法が他の進法比較して優れているわけでもないのに)なぜ十進法採用されることが多くなったのか? という疑問に関しては、おおむね説明法の細部異なっても)「人類両手の指は合わせて10本あり、両手の指をつかって数を数えることが(必ずしも全ての民族ではないにしても多く民族行われていたからだ」といった類の説明がされることが多い。いずれの方法でも、両手の指を全部使ったところである種の「ひとまとまり」や「ひと区切り」を迎えるので、自然と人類は十進法という発想法記述法)を用いることが多くなった、といった説明である。 なお20世紀後半になってデジタルコンピュータ使用急速に増えるにつれ、計算機科学専門家コンピュータ・エンジニアなどを中心として二進法十六進法活用が非常に活発になった。二進法デジタルコンピュータCPUでの数表現直結していたからである。ただ二進法は、その表記量が増えると「1010 1111 0101 1100 ...」などといった調子で、あまりに桁数多くなり、おまけに「0」「1」ばかりでは人間頭脳特性には向いておらず扱いにくくなるので、一旦それを十六表記変換して「AF5C...」などと表記したり、十六表記プログラム(の要素)を書いたり、十六表記対応したキーボードでそれを入力するしくみを作った二進数表記十六進数表記は、二進数4桁(4文字)が十六進の1(1文字)に(ちょうど、まとめて、すっきりと)変換でき、一種の「相性のようなものが良く便利なので、用いられた。例え上記の「1010」→「A」変換できるまた、コンピュータ仕組みとしては、「A」キー押されたら、内部的にはそれを「1010」と(デジタル回路ON/OFFで)表現すれば良く、2進で4桁分ずつデータ取り込んでゆけば良かった。(こうして1960年代~1980年代は、コンピュータ実際に操作する場面でさかんに十六表記データ群やプログラム使われた。最近はシステム開発焦点となる次元アーキテクチャ内での階層)が変わりコンピュータ・エンジニア十六表記記述を扱うことはかなり減ったが)、デジタルコンピュータは今も、二進法根本原理として、物理的に動いており、それに支配されている。これらのことから現在でも、コンピュータエンジニア資格試験では二進法十六進法十進法などの間の相互変換は(コンピュータ根本原理理解するためにも、それを扱うために開発され技術的手法歴史理解する上でも)必修事項となっており、コンピュータ・エンジニア資格取得者ならばそれらの相互変換ができる。 なお、ある数を記述するための記数法が指定されても、それでも表示がひとつに定まらないことがある例えば、十進小数表示では 1 = 0.999...右辺は、小数点以下の全てのが 9)という2通り表示をもちうる。

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三十二進法」の記事における「記数法」の解説

三十二進記数法とは、32 を底とする位取り記数法である。慣用従い通常のアラビア数字十進数とし、三十二進記数法の表記括弧および下付32 で表す。三十二進記数法で表された数を三十二進数と呼ぶ。 一般には、0, 1, …, 8, 9, A, B, …, U, V の 32 個の数字用いる。A から V は、以下の表のとおり、それぞれ十進での 10 から 31 を表す。 00 88 16G 24O 11 99 17H 25P 22 10A 18I 26Q 33 11B 19J 27R 44 12C 20K 28S 55 13D 21L 29T 66 14E 22M 30U 77 15F 23N 31V 右端あるいは小数点で 1 のを表す。数字の意味する数は、左に 1 ずれると 32 倍になり、右に 1 ずれると 1/32 になる。(21)32 という表記において、左の「2」は六十四を表し、右の「1」は一を表し合わせて六十五を表す。 同様に、 (50)32 は 5×321 + 0×320 = 160 を表し、 (B4)32 = 11×321 + 4×320 = 356意味するアルファベットの I と数字の 1 、およびアルファベットの O と数字の 0 が混同しいためにアルファベットの I と O を用いないことがあり、この場合は以下の表のとおりとなる。 00 88 16G 24Q 11 99 17H 25R 22 10A 18J 26S 33 11B 19K 27T 44 12C 20L 28U 55 13D 21M 29V 66 14E 22N 30W 77 15F 23P 31X

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記数法

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七進法」の記事における「記数法」の解説

七進記数法とは、7 を底とする位取り記数法である。

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記数法

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十八進法」の記事における「記数法」の解説

十八進記数法とは、18 を底とする位取り記数法である。慣用従い通常のアラビア数字十進数とし、十八進記数法の表記括弧および下付18 で表す。十八進記数法で表された数を十八進数と呼ぶ。 一般には、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H の 18 個の数字用いる。右端あるいは小数点で 1 のを表す。数字の意味する数は、左に 1 ずれると 18 倍になり、右に 1 ずれると 1/18 になる。(11)18 という表記において、左の「1」は十八表し、右の「1」は一を表し合わせて十九を表す。 同様に十八進記数法では (50)1890 (5×181) を、(100)18324 (1×182) を意味する

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