特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/04 04:58 UTC 版)
特殊関数(とくしゅかんすう、英: special functions)は、何らかの名前や記法が定着している関数であり、解析学、関数解析学、可積分系、物理学、その他の応用分野でよく使われる関数であることが多い[1]。
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特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/19 15:06 UTC 版)
代表的な特殊関数、具体的には ガンマ関数 エアリー関数 ベッセル関数 直交多項式 超幾何級数 などの関数、もしくはそのq類似についても行列バージョンを考えることができる。例えば、行列からなる無限乗積の収束を適切に定義したうえで、qポッホハマー記号の行列バージョンは次のように定義できる。 ( A ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( I − A q k ) , ( A ; q ) ∞ := lim n → ∞ ( A ; q ) n , | q | < 1 , A ∈ C n × n {\displaystyle (A;q)_{n}\!:=\!\prod _{k=0}^{n-1}(I-Aq^{k}),\quad (A;q)_{\infty }\!:=\!\lim _{n\to \infty }(A;q)_{n},\quad |q|<1,\quad A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} これを使って、en:q-gamma functionの行列バージョンも導入できる。 Γ q ( A ) := ( q ; q ) ∞ ( q A ; q ) ∞ − 1 ( 1 − q ) I − A , | q | < 1 {\displaystyle \Gamma _{q}(A):=(q;q)_{\infty }(q^{A};q)_{\infty }^{-1}(1-q)^{I-A},\quad |q|<1}
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特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/04 01:27 UTC 版)
加速法によって複素関数をより広い領域で計算可能になるので、一種の解析接続と見なすことも可能である。加速法は誤差関数などの特殊関数への計算に応用可能である。
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特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/25 02:35 UTC 版)
「ISO 80000-2」の記事における「特殊関数」の解説
番号記号意味備考2-19.1 γC オイラーの定数 γ := lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln ( n ) ) {\displaystyle \gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)} = 0.577 215 6... 2-19.2 Γ(z) ガンマ関数 Γ(z)は 0, −1, −2, ... に極を持つ有理型関数である。 Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t} (Re z > 0) Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} (n ∈ N) 2-19.3 ζ(z) リーマンゼータ関数 ζ(z)はz = 1 に極を持つ有理型関数である。 ζ ( z ) = ∑ n = 1 ∞ 1 z s {\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{s}}}} 2-19.4 Β(z, w) ベータ関数 B ( z , w ) = ∫ 0 1 t z − 1 ( 1 − t ) w − 1 d t {\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (z,w)=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{w-1}\,dt} (Re z > 0, Re w > 0) 2-19.5 Ei x 指数積分 Ei x = − ∫ − ∞ x e t t d t {\displaystyle \operatorname {Ei} x=-\!\!\!\!\!\!\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t} 2-19.6 li x 対数積分 li x = ∫ 0 x 1 ln t d t {\displaystyle \operatorname {li} x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,\mathrm {d} t} (0 < x <1) li x=− ∫ 0 x 1 ln t d t {\displaystyle \operatorname {li} x=-\!\!\!\!\!\!\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,\mathrm {d} t} (x> 1) 2-19.7 Si z 正弦積分 Si z = ∫ 0 z sin t t d t {\displaystyle \operatorname {Si} z=\int _{0}^{z}{\frac {\sin t}{t}}\mathrm {d} t} si z = − π 2 + Si z {\displaystyle \operatorname {si} z=-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} z} を相補正弦積分という。 2-19.8 S(z)C(z) フレネル積分 S ( x ) = ∫ 0 x sin ( t 2 ) d t {\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt} C ( x ) = ∫ 0 x cos ( t 2 ) d t {\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt} 2-19.9 erf x 誤差関数 erf ( x ) = 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} erfc(x) = 1 − erf(x) を相補誤差関数という。統計学では、派生した関数 Φ ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 / 2 d t {\displaystyle \Phi (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t} が使われる。 2-19.10 F(ψ, k) 第一種(不完全)楕円積分 F ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta }} K(k) = F(π/2, k) (0 < k < 1, k ∈ R)を第一種完全楕円積分という。 2-19.11 E(ψ, k) 第二種(不完全)楕円積分 E ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle E(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta }} E(k) = E(π/2, k) (0 < k < 1, k ∈ R)を第二種完全楕円積分という。 2-19.12 Π(n, ψ, k) 第三種(不完全)楕円積分 Π ( n ; φ , k ) = ∫ 0 φ 1 ( 1 − n sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle \Pi (n;\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}d\theta }} Π(n, k) = Π(n, π/2, k) (0 < k < 1, k ∈ R) を第三種完全楕円積分という。 2-19.13 F(a, b, c; z) 超幾何関数 F ( a , b , c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n z n ( c ) n n ! {\displaystyle \mathrm {F} (a,b,c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}}{(c)_{n}\;n!}}} 2-19.14 F(a; c; z) 合流型超幾何関数(英語版) F ( a ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( c ) n n ! z n {\displaystyle \mathrm {F} (a;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}} 2-19.15 Pn(z) ルジャンドル多項式 P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n {\displaystyle \mathrm {P} _{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left(z^{2}-1\right)^{n}} 2-19.16 P n m ( z ) {\displaystyle \mathrm {P} _{n}^{m}(z)} 随伴ルジャンドル多項式(英語版) P n m ( z ) = ( − 1 ) m ( 1 − z 2 ) m / 2 d m d z m P n ( z ) {\displaystyle \mathrm {P} _{n}^{m}(z)=(-1)^{m}\left(1-z^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\mathrm {P} _{n}(z)} (m, n ∈N, m ≦ n) 2-19.17 Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \mathrm {Y} _{l}^{m}(\theta ,\phi )} 球面調和関数 Y l m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 2 l + 1 4 π ( l − | m | ) ! ( l + | m | ) ! P l | m | ( cos θ ) e i m ϕ {\displaystyle \mathrm {Y} _{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\,}}\mathrm {P} _{l}^{|m|}(\cos \theta )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\phi }} 2-19.18 Hn(z) エルミート多項式 H n ( z ) = ( − 1 ) n e z 2 d n d z n e − z 2 {\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}e^{z^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}e^{-z^{2}}} 2-19.19 Ln(z) ラゲール多項式 L n ( z ) = e z d n d z n ( z n e − z ) {\displaystyle \mathrm {L} _{n}(z)=\mathrm {e} ^{z}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}(z^{n}e^{-z})} (n ∈N) 2-19.20 L n m ( z ) {\displaystyle \mathrm {L} _{n}^{m}(z)} ラゲール陪多項式 L n m ( z ) = d m d z m L n ( z ) {\displaystyle \mathrm {L} _{n}^{m}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\mathrm {L} _{n}(z)} (m ∈N, m ≦ n) 2-19.21 Tn(z) 第一種チェビシェフ多項式 Tn(z) = cos(n arccos z) (n ∈N) 2-19.22 Un(z) 第二種チェビシェフ多項式 U n ( z ) = sin [ ( n + 1 ) arccos z ] sin ( arccos z ) {\displaystyle \mathrm {U} _{n}(z)={\frac {\sin[(n+1)\arccos z]}{\sin(\arccos z)}}} (n ∈N) 2-19.23 Jv(z) 第一種円柱ベッセル関数 J v ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( z / 2 ) v + 2 k k ! Γ ( v + k + 1 ) {\displaystyle \mathrm {J} _{v}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(z/2)^{v+2k}}{k!\Gamma (v+k+1)}}} (v ∈C) 2-19.24 Nv(z) 第二種円柱ノイマン関数 N v ( z ) = J v ( z ) cos ( v π ) − J − v ( z ) sin ( v π ) {\displaystyle \mathrm {N} _{v}(z)={\frac {\mathrm {J} _{v}(z)\cos(v\pi )-\mathrm {J} _{-v}(z)}{\sin(v\pi )}}} (v ∈C) 2-19.25 H v ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(1)}(z)} H v ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(2)}(z)} 第三種円柱ハンケル関数 H v ( 1 ) ( z ) = J v ( z ) + i N v ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(1)}(z)=\mathrm {J} _{v}(z)+i\mathrm {N} _{v}(z)} H v ( 2 ) ( z ) = J v ( z ) − i N v ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(2)}(z)=\mathrm {J} _{v}(z)-i\mathrm {N} _{v}(z)} (v ∈C) 2-19.26 Iv(z)Kv(z) 変形ベッセル関数 I v ( z ) = e − 1 2 i v π J v ( e 1 2 i π z ) {\displaystyle \mathrm {I} _{v}(z)=e^{-{\frac {1}{2}}iv\pi }\mathrm {J} _{v}\left(e^{{\frac {1}{2}}i\pi }z\right)} K v ( z ) = i π 2 e 1 2 i v π H v ( 1 ) ( e 1 2 i π z ) {\displaystyle \mathrm {K} _{v}(z)={\frac {i\pi }{2}}e^{{\frac {1}{2}}iv\pi }\mathrm {H} _{v}^{(1)}\left(e^{{\frac {1}{2}}i\pi }z\right)} 2-19.27 jl(z) 球ベッセル関数 j l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 J l + 1 / 2 ( z ) {\displaystyle \mathrm {j} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {J} _{l+1/2}(z)} (l ∈N) 2-19.28 nl(z) 球ノイマン関数 n l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 N l + 1 / 2 ( z ) {\displaystyle \mathrm {n} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {N} _{l+1/2}(z)} (l ∈N)yl(z) も使われる。 2-19.29 h l ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(1)}(z)} h l ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(2)}(z)} 球ハンケル関数 h l ( 1 ) ( z ) = j l ( z ) + i n l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 H l + 1 / 2 ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(1)}(z)=\mathrm {j} _{l}(z)+i\mathrm {n} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {H} _{l+1/2}^{(1)}(z)} h l ( 2 ) ( z ) = j l ( z ) − i n l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 H l + 1 / 2 ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(2)}(z)=\mathrm {j} _{l}(z)-i\mathrm {n} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {H} _{l+1/2}^{(2)}(z)} 2-19.29 Ai(z)Bi(z) エアリー関数 A i ( z ) = 1 3 z [ I − 1 3 ( w ) − I 1 3 ( w ) ] {\displaystyle \mathrm {A} _{i}(z)={\frac {1}{3}}{\sqrt {z}}\left[\mathrm {I} _{-{\frac {1}{3}}}(w)-\mathrm {I} _{\frac {1}{3}}(w)\right]} B i ( z ) = z 3 [ I − 1 3 ( w ) + I 1 3 ( w ) ] {\displaystyle \mathrm {B} _{i}(z)={\sqrt {\frac {z}{3}}}\left[\mathrm {I} _{-{\frac {1}{3}}}(w)+\mathrm {I} _{\frac {1}{3}}(w)\right]} (ここで、 w = 2 3 z 3 / 2 {\displaystyle w={\frac {2}{3}}z^{3/2}} )
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