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リーマンゼータ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/12/09 13:36 UTC 版)

(ゼータ関数 から転送)

複素数平面におけるリーマンのゼータ関数。点 s における色が ζ(s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 Re(s) = 1/2 上の黒い点は零点である。

数学におけるリーマンゼータ関数（-かんすう、Riemann's zeta function）とは、

で表される関数のことをいう。素数分布の研究をはじめとした解析的数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を始め数学や物理学の様々な分野で用いられているゼータ関数とよばれる一連の関数のうち、最も歴史的に古いものである。リーマンのゼータ関数ともよばれる。

ガンマ関数を用いれば、リーマンゼータ関数を

とも定義できる。

すでにオイラーがこの関数を考察しておもに特殊値に関する重要な発見をしていたが、のちにより重要な貢献をしたリーマンがもちいたギリシャ文字のζによる表記にちなみリーマンゼータ関数と呼ぶ。上記級数は s が 1 より大きい実部をもつ複素数のときのみ収束するが、解析接続によって1を除く複素数平面の全域で定義された有理型関数となる。s = 1のとき上の表示は調和級数となり、無限に発散する。