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ルジャンドル多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2009/06/18 20:19 UTC 版)
ルジャンドルの多項式 (るじゃんどるのたこうしき) とは、ルジャンドルの微分方程式における特別な場合 (ν = 0, 1, 2, ...) の解である。その形は ν = n = 0, 1, 2, ... とした場合に以下の様になる。
![P_n(x) \equiv \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} (-1)^k x^{n-2k} \frac{(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}](http://img.weblio.jp/ic/?u=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fmath%2F2%2Fd%2F5%2F2d5b5c0cc73bccb2ae82824bd975109e.png)
またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。
さらにルジャンドルの多項式の母関数は次の様になる。
ルジャンドル多項式をもとにして
で定義される関数をルジャンドル陪関数（るじゃんどるばいかんすう、associated Legendre functions）という。「陪」(associated) は「付き従う、関連する、付属する」というような意味で、ルジャンドル多項式に付属する関数ということである。ルジャンドル陪多項式（-たこうしき、associated Legendre polynomials）と呼ばれることもあるが、ルジャンドル陪関数は一般には多項式でない。この関数は球面調和関数の一部として出てくる。
関連項目
- アドリアン＝マリ・ルジャンドル
- ルジャンドルの微分方程式
- ロドリゲスの公式
- 母関数
- ガウス求積
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