定理の主張
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k > 0 とし、k 次微分形式 ω ∈ Ak(Rn) が d ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega =0\,} を満たすとする。このとき、k − 1 次微分形式 η ∈ Ak−1(Rn) が存在して、 ω = d η {\displaystyle \omega =\mathrm {d} \eta \,} が成り立つ。
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定理の主張
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「ゲルフォント＝シュナイダーの定理」の記事における「定理の主張」の解説
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 α β {\displaystyle \alpha ^{\beta }} は、超越数である。
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定理の主張
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「リウヴィル＝アーノルドの定理」の記事における「定理の主張」の解説
自由度 n のハミルトン力学系において、(q, p) = (q1,..., qn ; p1,..., pn) を正準変数とする。このとき、系に n 個の独立な第一積分 F1,..., Fn が存在し、それらのポアソン括弧が可換 { F i , F j } = 0 {\displaystyle \left\{F_{i},F_{j}\right\}=0} すなわち包合系であるとする。このとき、系は完全積分可能である。 さらに、第一積分の等位面として定義されるレベル集合 M f := { ( q , p ) | F i ( q , p ) = c o n s t . ( = f i ) , f o r i = 1 , … , n } {\displaystyle M_{f}:=\left\{(q,p)\left|F_{i}(q,p)=\mathrm {const.} ~(=f_{i}),\quad \mathrm {for} ~~i=1,\dots ,n\right.\right\}} がコンパクトかつ連結であり、Mf 上で勾配ベクトル ∇ Fi が一次独立であるとする。このとき、Mf は n 次元トーラスと同相である。
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定理の主張
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「フロイデンタールのスペクトル定理」の記事における「定理の主張」の解説
e はリース空間 E に属する任意の正元とする。E の正元 p が e の成分 (component) であるとは、p ⊥ (e − p) が成立することを言う。p1, p2, …, pn が互いに素な e の成分であるとき、p1, p2, …, pn の任意の実線型結合を e-単関数と呼ぶ。 定理 (Freudenthal) 単項射影性質を持つリース空間 E と E の任意の正元 e について、e の生成する主イデアル内の任意の元 f に対して、適当な e-単関数列 {sn} および {tn} が存在して、それぞれ下から単調に、および上から単調に、f に e-一様に収束する。
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定理の主張
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「群の位数に関する積の法則」の記事における「定理の主張」の解説
「第二同型定理」および「部分群の積（英語版）」も参照 H, K は群 G の部分群とし、部分群の積（英語版） HK は hk (h ∈ H, k ∈ K) の形の G の元全体の成す集合を表す。また H, K, H ∩ K の位数をそれぞれ |H|, |K|, |H ∩ K| とするとき、これらと HK の位数 HK との間に、積の法則と呼ばれる関係式 | H K | ⋅ | H ∩ K | = | H | ⋅ | K | ( ⟺ | H K | / | K | = | H | / | H ∩ K | ) {\displaystyle {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}\qquad (\iff {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}})} が成り立つ。 初等的な数え上げ問題として、羊飼いの補題（フランス語版） (lemme des bergers) に基づく証明を以下のように与えることができる: 写像 f : H × K → H K ; ( h , k ) ↦ h k {\displaystyle f\colon H\times K\to HK;\;(h,k)\mapsto hk} を考える。y を HK の元とすれば、y は適当な h ∈ H, k ∈ K を用いて y = hk の形をしている。f(h′, k′) = y を満たす (h′, k′) ∈ H × K の全体からなる集合の位数を計算しよう。まず、そのような (h′, k′) ∈ H × K は h′k′ = hk(= y) を満たすから、変形して h−1h′ = kk′−1 となることに注意する。したがって適当な i ∈ H ∩ K が存在して（なんとなれば i = h−1h′ と書けば）h′ = hi かつ k′ = i−1k となる。これにより、f(h′, k′) = y を満たす (h′, k′) ∈ H × K が (hi, i−1k) (i ∈ H ∩ K) の形に書ける H × K の元にほかならないことは容易に確かめられ、そのような元全体の成す集合の位数が |H ∩ K| であることが分かる。 H × K の G への作用を、各対 (h,k) は h を左から、k-1 を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の軌道に対する軌道–固定群の関係式あるいはバーンサイドの補題の応用として所期の積の法則を得ることもできる。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/16 10:19 UTC 版)
定理によれば、x + y の任意の冪を ( x + y ) n = ( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n}} (1) の形の和に展開することができる（冪指数が零となるときは対応する冪は 1 に等しいものとし、その項の因子としてはしばしば省略する）。ここに (nk) は二項係数と呼ばれる特定の正整数である。この等式はしばしば二項公式（ドイツ語版）あるいは二項（恒）等式とも呼ばれる。総和の ∑-記法（英語版）を用いれば ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}} と書ける。最後の式はもともとの式における x と y との対称性と、定理の等式に現れる二項係数の列の対称性により、真ん中の式から得られる。二項公式の簡単版が y に 1 を代入して一変数化することで得られる。つまり、 ( 1 + x ) n = ( n 0 ) x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.} 注 この定理は冪指数 n が任意の自然数であるとき、x および y が任意の単位的可換環の元として成り立つ。このとき、項 ( n k ) x n − k y k {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}} は環の元の積 xn−kyk の整数 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} によるスカラー倍である。つまりここでは環を Z-加群と見做している。 必ずしも可換でない一般の単位的環においても x と y が可換である（つまり xy = yx を満たす）限りにおいて二項定理は成り立つ。 xn と yn の項を分けて書けば単位元の存在も仮定しなくてよい: ( x + y ) n = x n + [ ∑ k = 1 n − 1 ( n k ) x n − k y k ] + y n . {\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}.} 定理の主張を、多項式列 {1, x, x2, …} は二項型であると述べることもできる。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/29 09:05 UTC 版)
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性) α 1 , … , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 ではない代数的数とする。もし、 log α 1 , … , log α n {\displaystyle \scriptstyle \log \alpha _{1},\ldots ,\ \log \alpha _{n}} が有理数体上線形独立であるならば、 1 , log α 1 , … , log α n {\displaystyle \scriptstyle 1,\ \log \alpha _{1},\ldots ,\ \log \alpha _{n}} は、代数的数体上線形独立である。 定理2 (対数関数の一次形式の下界の評価) α 1 , … , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 ではない、次数が d 以下、高さが A 以下の代数的数とする。また、 β 0 , β 1 , … , β n {\displaystyle \scriptstyle \beta _{0},\ \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を、次数が d 以下、高さが B ( ≥ 2 ) {\displaystyle \scriptstyle B(\geq 2)} 以下の代数的数としたとき、 Λ = β 0 + β 1 log α 1 + ⋯ + β n log α n {\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}} とおくと、 Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} または、 | Λ | > B − C {\displaystyle |\Lambda |>B^{-C}} である。 ここで、C は、n、 d、 A、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/08 01:04 UTC 版)
任意の正整数 m と任意の非負整数 n に対して、多項公式 (multinomial formula) は m-項和の任意の n-冪が ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dotsb x_{m}^{k_{m}}} と展開されることを示すものである。ただし、係数 ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}} は多項係数である。また、和は非負整数値をとる添字列 k1, k2, …, km でそれらの総和が k1 + k2 + … + km = n を満たすものすべてに亙って取る。従って、展開された式の各項は全次数（各変数 xi の冪指数 ki の総和）が n でなければならない。また二項定理の場合と同様、x0 の形の量が現れたときは（x が零のときも含めて恒等的に）1 に等しいものと理解しなければならない。 m = 2 のとき、主張は二項定理に帰着される。 多重添字記法を用いると、定理の主張は ( x 1 + ⋯ + x m ) n = ∑ | α | = n ( n α ) x α {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }} と短く書ける。ここに、α = (α1, α2, …, αm), x = (x1, x2, …, xm) であって, xα = xα11 xα22⋅ ⋯ ⋅xαmm および |α| = α1 + α2 + … + αm, α! = α1! α2! ⋅ … ⋅ αm! に対して (nα) = n!⁄α! = |α|⁄α! である。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/10 06:44 UTC 版)
X と Y を、体 F 上の射影平面 FP2 における2つの曲線であって、共通成分を持たないものとする。X と Y は、F の代数閉包 E 上の射影平面 EP2 における曲線であると自然に見なすことができる。X と Y の EP2 における交点の総数は、重複度を込めると、X の次数と Y の次数の積に等しい。 「X と Y が共通成分を持たない」という仮定は、「X と Y の共有する点が有限個である」と言い換えることもできる。例えば、X と Y の定義多項式が共に既約で異なるものであれば、十分に仮定を満たす。 「重複度を込める」のより正確な意味は次節を参照。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/19 14:51 UTC 版)
「シルヴェスターの慣性法則」の記事における「定理の主張」の解説
n-次正方行列 A は実成分を持つ対称行列とする。同じサイズの正則行列 S は A を別の n-次対称行列 B = SAS⊤ へ変換するものとする。ここに S⊤ は S の転置行列である。即ち、行列 A と B とは互いに合同とする。A が Rn の適当な二次形式の係数行列ならば B は同じ二次形式に S の定める基底変換を行って得られる二次形式の係数行列である。 対称行列 A はこの仕方で必ず対角成分が 0, +1, −1 の何れかであるような対角行列 D に変換することができる。シルヴェスターの慣性法則はこのような各種の対角成分の数が（行列 S の取り方に依らない）A の不変量であることを述べる。 +1 の数 n+ を A の正の慣性指数 (positive index of inertia) と言い、−1 の数 n− を負の慣性指数 (negative index of inertia) と呼ぶ。0 の数 n0 は A の核の次元であり、A の余階数（退化次数）である。これらは明らかに n 0 + n + + n − = n {\displaystyle n_{0}+n_{+}+n_{-}=n} なる関係を持つ。差 sign(A) = n− − n+ を普通は符号数と呼ぶ（が、A の正負の慣性指数と退化次数の三つ組 (n0, n+, n−) を符号数と呼ぶ文献もある。与えられた次数の非退化形式に対しては、どちらで書いても同じ情報を与えるが、一般には三つ組のほうが情報が多い）。 行列 A が、左上からの k × k 主小行列式 Δk が何れも非零であるという性質を持つならば、負の慣性指数は列 Δ 0 = 1 , Δ 1 , … , Δ n = det A {\displaystyle \Delta _{0}=1,\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}=\det A} の符号変化の数に等しい。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/11 05:47 UTC 版)
剛体運動の下で不変で連続な、Kn 上の任意の付値 v は、 v ( S ) = ∑ j = 0 n c j W j ( S ) {\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~} と表示できる。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/01 16:32 UTC 版)
「メーソン・ストーサーズの定理」の記事における「定理の主張」の解説
, , は、 を満たす互いに素な（共通零点がない）複素数係数の多項式とする。このとき次の関係が成り立つ： である。α は f の相異なる零点である。つまり、 は の相異なる根の個数を意味する。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/02 02:41 UTC 版)
α1, …, αn が相異なる代数的数であるとき、eα1, …, eαn は Q 上一次独立である（e はネイピア数）。すなわち、 c 1 e α 1 + ⋯ + c n e α n = 0 {\displaystyle c_{1}e^{\alpha _{1}}+\cdots +c_{n}e^{\alpha _{n}}=0} を満たす代数的数の組 (c1, …, cn) は (0, …, 0) のみである。 同値な命題として、次のように定式化されることもある。α1, …, αn が Q 上一次独立な代数的数であるとき、eα1, …, eαn は Q 上代数的独立である。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/17 09:07 UTC 版)
フレヴィッチの定理は、ホモトピー群とホモロジー群を結びつける重要な定理である。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/11 08:33 UTC 版)
「コーシーの平均値定理」の記事における「定理の主張」の解説
定理 (Cauchy) f, g: [a, b] → R を実数値函数で [a, b] で連続、(a, b) で微分可能とするとき、c ∈ (a, b) が存在して [ g ( b ) − g ( a ) ] f ′ ( c ) = [ f ( b ) − f ( a ) ] g ′ ( c ) {\displaystyle [g(b)-g(a)]f'(c)=[f(b)-f(a)]g'(c)} が成立する。特に g(a) ≠ g(b) かつ g′(c) ≠ 0 ならば f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) {\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}} と書ける。 証明 区間 [a, b] 上で定義された実函数 h を h ( t ) = [ f ( b ) − f ( a ) ] g ( t ) − [ g ( b ) − g ( a ) ] f ( t ) {\displaystyle h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)} で定めれば、h は [a, b] で連続、(a, b) で微分可能で、h(a) = h(b) を満たす。したがって h はロルの定理の仮定を満たすから、c ∈ (a, b) が存在して h′(c) = 0, すなわち [ f ( b ) − f ( a ) ] g ′ ( c ) − [ g ( b ) − g ( a ) ] f ′ ( c ) = 0. {\displaystyle [f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.}
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 16:15 UTC 版)
K を代数体、k, l, n を自然数、r1, . . . ,rk を奇数の自然数とし、f1, . . . ,fk を n 変数で次数がそれぞれ r1, . . . ,rk の K 係数斉次多項式とする。ここで、 n ≥ ψ ( r 1 , … , r k , l , K ) {\displaystyle n\geq \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)} を満たすならば、Kn の l 次元部分ベクトル空間 V が存在して f 1 ( x ) = ⋯ = f k ( x ) = 0 , ∀ x ∈ V {\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0,\quad \forall x\in V} を満たすような、ある数 ψ(r1, . . . ,rk,l,K) が存在する。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 16:39 UTC 版)
「ヴィノグラードフの定理」の記事における「定理の主張」の解説
A を正の実数とすると、 r ( N ) = 1 2 G ( N ) N 2 + O ( N 2 log − A N ) , {\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),} が成り立つ。ここで、 Λ {\displaystyle \Lambda } をフォン・マンゴルト関数とすると r ( N ) = ∑ k 1 + k 2 + k 3 = N Λ ( k 1 ) Λ ( k 2 ) Λ ( k 3 ) {\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})} であり、 G ( N ) = ( ∏ p ∣ N ( 1 − 1 ( p − 1 ) 2 ) ) ( ∏ p ∤ N ( 1 + 1 ( p − 1 ) 3 ) ) {\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right)} である。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 17:13 UTC 版)
ベール空間は「開稠密部分集合 U n {\displaystyle U_{n}} からなる任意の可算族に対して、それらの交わり ⋂ n U n {\displaystyle \bigcap _{n}U_{n}} は稠密」という性質を満たす位相空間である。 主張 1 (BCT1) 任意の完備距離空間はベール空間である。より一般に、完備擬距離空間の開部分集合に同相な任意の位相空間はベール空間である。従って任意の完備距離化可能空間はベール空間である。 主張 2 (BCT2) 任意の局所コンパクトハウスドルフ空間はベール空間である。 このことの証明は主張 1 と同様で、コンパクト性からくる有限交叉性が鍵になる。 この二つの主張は一方が他方を含んでいるとかいうようなものでないことに注意すべきである。これは（有理数の全体に後述するような距離を入れたものや任意の無限次元バナッハ空間のように）局所コンパクトでない完備距離空間が存在することや、あるいは（例えば非自明なコンパクトハウスドルフ空間の非可算積空間や非可算フォート空間など函数解析学で用いられるいくつかの函数空間のように）距離化可能でない局所コンパクトハウスドルフ空間が存在することによる。詳細はSteen & Seebach (1995)を参照。 主張 3 (BCT3) 空でない完備距離空間と、内点を持つその部分集合は疎（英: nowhere dense）な閉集合の可算和にはならない。 これは BCT1 と同値だがこちらの定式化のほうが応用上しばしば有用である。これから、「空でない完備距離空間が閉部分集合の可算和に書けるならば、その閉集合のうちの少なくとも一つは内部が空でない」ということも言える。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/06 00:21 UTC 版)
開集合 Ω ⊂ Rn+m 上の連続微分可能な函数 f: Ω → Rm をとる。始域 Ω を直積集合 Rn × Rm の部分集合と見做して、この直積に属する元を (x, y) = (x1, …, xn, y1, …, ym) と書く。そのような函数 f が与えられたところから始めて、最終的に函数 g: Rn → Rm でそのグラフ (x, g(x)) が f(x, y) の零点集合と一致するようなものを見つけることを考える。 既に述べたとおり、そのようなことは常に可能というわけではない。そこで f(x, y) の零点 (a, b) = (a1, …, an, b1, …, bm) を固定し、その近くで目的に合う g を見つけることに視点を移す。すなわち、U × V ⊂ Ω を満たす点 a の開近傍 U と点 b の開近傍 V、および函数 g: U → V の三つ組 U, V, g で、 g のグラフが U × V 上で関係 f = 0 を満足するもの、式で書けば U × V 内の各点 (x, y) で f ( x , y ) = 0 ⟺ y = g ( x ) {\displaystyle f(x,y)=0\iff y=g(x)} を満足するものを求めたい。 陰函数定理を述べるためには、f = (f1, …, fm) のヤコビ行列（函数行列）が必要である。それは f のすべての偏微分によって形作られる行列で、(a, b) における値は D f ( a , b ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( a , b ) ∂ f 1 ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ y m ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ x n ( a , b ) ∂ f m ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ y m ( a , b ) ) = ( X ∣ Y ) {\displaystyle Df(a,b)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a,b)&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(a,b)\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a,b)&{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(a,b)\end{array}}\right)=(X\mid Y)} で与えられる。右辺において、X は変数 xi たちに関する偏微分からなる行列、Y は変数 yj に関する偏微分からなる行列である。陰函数定理が述べるのは、このときの行列 Y が正則ならば、所期の通りの U, V, g が存在することである。以上全ての仮定をまとめれば以下の定理を得る。 陰函数定理 ― 開集合 Ω ⊂ Rn+m 上の連続微分可能な函数 f: Ω → Rm をとる。Rn+m は座標系 (x, y) を持つとし、f(x, y) の零点 (a, b) を固定する。このとき det ∂ f ∂ y ( a , b ) ≠ 0 {\displaystyle \det {\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\neq 0} ならば、 U × V ⊂ Ω を満たす a の開近傍 U, b の開近傍 V および一意的な連続微分可能函数 g: U → V で、 U × V 内の各点 (x, y) で f ( x , y ) = 0 ⟺ y = g ( x ) {\displaystyle f(x,y)=0\iff y=g(x)} を満足するものが存在する。さらに D g ( x ) = − ( ∂ f ∂ y ( x , g ( x ) ) ) − 1 ∂ f ∂ x ( x , g ( x ) ) {\displaystyle Dg(x)=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,g(x))\right)^{-1}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,g(x))} が成り立つ。 正則性 (regularity) に関して以下のような一般化が可能である: f が U × V 上で k 階連続微分可能ならば、定理にいう陰函数 g も U 上で k 階連続微分可能である。 解析的陰函数定理: 同様に、f が U × V の内側で解析的ならば、g も U の内側で解析的である。
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定理の主張
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「フルヴィッツの定理 (複素解析)」の記事における「定理の主張」の解説
{fk} を連結開集合 G 上の正則関数列で、G のコンパクト部分集合上ある正則関数 f に一様収束するとする。f が z0 において m 位の零点を持てば、十分小さいすべての ρ > 0 と十分大きい（ρ に依存する）k ∈ N に対して、fk は |z−z0| < ρ によって定義される円板において重複度もこめてちょうど m 個の零点を持つ。さらに、これらの零点は k → ∞ のとき z0 に収束する。
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定理の主張
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「ヤングの畳み込み不等式」の記事における「定理の主張」の解説
実解析において、ヤングの畳み込み不等式(Theorem 3.9.4)は以下のようなものである: 定理 (Young's convolution inequality) f ∈ Lp(ℝd), g ∈ Lq(ℝd) で 1 p + 1 q = 1 r + 1 ( 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ ) {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1\qquad (1\leq p,q,r\leq \infty )} が満たされるならば、不等式 ‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} が成り立つ。ここに、左辺の ∗ は畳み込みで、Lp はルベーグ p-乗可積分函数の空間および ‖ f ‖ p := ( ∫ R d | f ( x ) | p d x ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}{\mathit {dx}}{\Bigr )}^{1/p}} は Lp-ノルムである。 おなじことだが、以下のように述べることもできる: p, q, r ≥ 1 が 1 p + 1 q + 1 r = 2 {\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2} を満たすならば ∫ R d × R d f ( x ) g ( x − y ) h ( y ) d x d y ≤ ( ∫ R d | f | p ) 1 / p ( ∫ R d | g | q ) 1 / q ( ∫ R d | h | r ) 1 / r {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {dx}}\,{\mathit {dy}}\leq {\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}{\Bigr )}^{1/p}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}{\Bigr )}^{1/q}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}{\Bigr )}^{1/r}} が成り立つ。 一般化 ヤングの畳み込み不等式は、ℝd を単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。G 上の両側ハール測度を μ とすれば μ に関する積分が定義できて、G 上の実または複素数値函数 f, g に対して f ∗ g ( x ) := ∫ G f ( y ) g ( y − 1 x ) d μ ( y ) {\displaystyle f*g(x):=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,{\mathit {d\mu }}(y)} および ‖ f ‖ p := ( ∫ G | f ( x ) | p d μ ( x ) ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{G}|f(x)|^{p}\,{\mathit {d\mu }}(x){\Bigr )}^{1/p}} と定めれば、f ∈ Lp(G, μ), g ∈ Lq(G, μ) に対して、件の不等式 ‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} はそのままの形で成り立つ（もちろん、 ∫ G × G f ( x ) g ( x − y ) h ( y ) d μ ( x ) d μ ( y ) ≤ ( ∫ G | f | p ) 1 / p ( ∫ G | g | q ) 1 / q ( ∫ G | h | r ) 1 / r {\textstyle \int _{G\times G}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\leq (\int _{G}\vert f\vert ^{p})^{1/p}(\int _{G}\vert g\vert ^{q})^{1/q}(\int _{G}\vert h\vert ^{r})^{1/r}} とも書ける）。 事実として、ℝd は局所コンパクトアーベル群（英語版）、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/07 07:14 UTC 版)
一変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。 逆関数定理 (一変数の場合) ― C1 級関数 f の点 a における微分係数が0でないとき、f は a の近傍で可逆となり、この逆関数 f−1 もまた C1 級となる。このとき f−1 は次の式を満たす。 ( 1 ) ( f − 1 ) ′ ( f ( a ) ) = 1 f ′ ( a ) {\displaystyle (1)\qquad \left(f^{-1}\right)'{\Bigl (}f(a){\Bigr )}={\frac {1}{f'(a)}}} 多変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。 逆関数定理 (多変数の場合) ― U ⊂ Rn を開集合、F : U → Rn を C1 級関数とすると、F の点 p ∈ U におけるヤコビ行列 JF (p) が正則であるとき、F は p の近傍で可逆となり、この逆関数 F−1 もまた C1 級となる。 このとき F−1 は次の式を満たす。ここで [ A ] − 1 {\displaystyle [A]^{-1}} は A の逆行列、 J F ( p ) {\displaystyle J_{F}(p)} は F の点 p におけるヤコビ行列である。 ( 2 ) J F − 1 ( F ( p ) ) = [ J F ( p ) ] − 1 {\displaystyle (2)\qquad J_{F^{-1}}{\Bigl (}F(p){\Bigr )}={\Bigl [}J_{F}(p){\Bigr ]}^{-1}} 式(2)は次の連鎖律の式から導くこともできる。ここで G, H はそれぞれ H (p), p において全微分を持つ関数である。 ( 3 ) J G ∘ H ( p ) = J G ( H ( p ) ) ⋅ J H ( p ) {\displaystyle (3)\qquad J_{G\circ H}(p)=J_{G}{\Bigl (}H(p){\Bigr )}\cdot J_{H}(p)} 式(3)の G, H をそれぞれ F−1, F とおくと、 G ∘ H {\displaystyle G\circ H} が恒等写像となるのでそのヤコビ行列（左辺） J G ∘ H ( p ) {\displaystyle J_{G\circ H}(p)} は単位行列となる。これを J F − 1 ( F ( p ) ) {\displaystyle J_{F^{-1}}{\Bigl (}F(p){\Bigr )}} について解くことで式(2)が導かれる。ここで、逆関数定理が p における F−1 の全微分の存在を示すものであるのに対し、連鎖律は H (= F) の全微分の存在を仮定したものである。逆関数 F−1 が存在することは、x, y をそれぞれ p, F (p) の十分小さな近傍とするとき n 本の連立方程式 ( 4 ) { y 1 = F 1 ( x 1 , ⋯ , x n ) ⋮ y n = F n ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle (4)\qquad {\begin{cases}y_{1}&=F_{1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\\&\,\vdots \\y_{n}&=F_{n}(x_{1},\cdots ,x_{n})\end{cases}}} の解 x1, …, xn が y1, …, yn によって記述できることと等しい。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/14 09:47 UTC 版)
「曲面のリーマン・ロッホの定理」の記事における「定理の主張」の解説
X を非特異射影曲面とし、D を X 上の因子、K を X の標準因子とする。このとき D に対応する直線束を O(D) とし、それを係数にもつコホモロジーのオイラー数を χ(O(D)) とすると、 χ ( O ( D ) ) = χ ( O ) + 1 2 D . ( D − K ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\chi ({\mathcal {O}})+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)} がなり立つというのが定理である。ここでドット . は交叉数（交点数ともいう）とし、定数 χ(0) は自明バンドルの正則オイラー標数であり pa を曲面の算術種数とすると これは 1 + pa に等しい。比較のため、曲線のリーマン・ロッホの定理は、 χ(D) = χ(0) + deg(D)と言っている。必要であれば、セール双対性を使い h2(O(D)) を h0(O(K − D)) として表すことができるが、曲線の場合と異なり、一般には h1(O(D)) の項を層コホモロジーを含まない形に書くことは簡単ではない（実際は、よく 0 となる）。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/25 01:41 UTC 版)
定理 (群に関する準同型定理) 群 G, H および群準同型 f: G → H が与えられたとき、G の正規部分群 K および自然な射影 φ: G → G/K（G/K は剰余群）に対し、K ⊂ ker(f)（f の核）が成り立つならば、群準同型 h: G/K → H が存在して f = h ∘ φ とできる。 この状況を以下の可換図式 で表すことができる。これはすなわち自然な射影 φ が K を単位元に写す G 上の準同型の中でもっとも一般のものであることを言っている。 定理において K = ker(f) と置けばただちに第一同型定理が得られる。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/18 02:57 UTC 版)
「ボレル・ヴェイユの定理」の記事における「定理の主張」の解説
定理は複素半単純リー群 G とその実形（英語版） K のいずれに対しても述べることができる。G を連結複素半単純リー群とし、B を G のボレル部分群（英語版）とし、X = G/B を旗多様体（英語版）とする。この設定において、X は複素多様体であり非特異代数 G 多様体である。旗多様体はコンパクト等質空間 K/T として記述することもできる、ここで T = K ∩ B は K の（コンパクト）カルタン部分群（英語版）である。整ウェイト λ は X 上の G 同変な正則直線束 Lλ を決定し、群 G はその大域切断の空間 Γ ( G / B , L λ ) {\displaystyle \Gamma (G/B,L_{\lambda })} に作用する。 ボレル・ヴェイユの定理の主張は以下である：λ が優整ウェイトであるならば、この表現は G の最高ウェイト λ の正則既約最高ウェイト表現である。K へのその制限は K の最高ウェイト λ の既約ユニタリ表現であり、逆に K の各既約ユニタリ表現は一意的な λ の値に対してこのようにして得られる。（複素リー群の正則表現は、対応するリー環の表現が複素線型になる表現である。）
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/14 13:10 UTC 版)
「差商に対する平均値の定理」の記事における「定理の主張」の解説
平均値の定理 どの二つも相異なる n + 1 個の点 x0, …, xn を含む定義域上で n 回微分可能な函数 f に対し、内点 ξ ∈ ( min { x 0 , … , x n } , max { x 0 , … , x n } ) {\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\,\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})} が存在して、その点での f の n-階微分係数が、与えられた点における n-次差商の n!-倍に等しい。式で書けば f [ x 0 , … , x n ] = f ( n ) ( ξ ) n ! {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}} が成り立つ。 n = 1 のとき、上記の主張は函数の二点間の値に対する、通常の平均値の定理である。 証明 点 x0, …, xn における f のラグランジュ補間多項式を P とするとき、ニュートン形を考えれば P の最高次項は f [ x 0 , … , x n ] ( x − x n − 1 ) ⋯ ( x − x 1 ) ( x − x 0 ) {\textstyle f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dotsb (x-x_{1})(x-x_{0})} である。 g := f − P をこの補間の誤差項とすれば、g は x0, …, xn という n + 1 個の零点を持つ。ロルの定理をまず g に適用し、さらに g′ に適用し、以下同様に g(n−1) まで適用すれば、g(n) が零点 ξ を持つことが分かる。したがって 0 = g ( n ) ( ξ ) = f ( n ) ( ξ ) − f [ x 0 , … , x n ] n ! {\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!} となり、整理すれば f [ x 0 , … , x n ] = f ( n ) ( ξ ) n ! {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}} を得る。
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定理の主張
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「アルティン・ウェダーバーンの定理」の記事における「定理の主張」の解説
ジョセフ・ウェダーバーン (1882–1948) エミール・アルティン (1898–1962) 定理は、（アルティン）半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている。ここで ni は正の整数、 Di は可除環であり、 両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる。 直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した。 R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。 アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上の単純環の分類を与えられた可除環を含む可除環の分類に帰着する。これをさらに単純化できる。D の中心は 体 K でなければならない。したがって R は K-代数であり、それ自身は K を中心としてもつ。有限次元単純代数 R はしたがって K 上の中心的単純代数である。それゆえアルティン・ウェダーバーンの定理は有限次元中心的単純代数の分類の問題を与えられた中心をもつ可除環の分類の問題に帰着する。
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定理の主張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/13 08:49 UTC 版)
「有限アーベル群の構造定理」の記事における「定理の主張」の解説
定理 (Kronecker) 有限アーベル群 G に対し、1 より大きい整数からなる列 (a1, a2, …, ak) が一意に存在して、G はこの数列の各項に等しい位数を持つ巡回群の直積群に同型: G ≃ Z / a 1 Z × Z / a 2 Z × ⋯ × Z / a k Z {\displaystyle G\simeq \mathbb {Z} /a_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /a_{2}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /a_{k}\mathbb {Z} } であり、かつ各 i = 1, …, k − 1 に対して ai+1 は ai を割り切る。 この一意に定まる数列を G の不変系、その各項を G の単因子と呼ぶ。
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