数え上げ
数え上げ
数え上げ
実査 1とは、人口の総数を明らかにすることを意図した作業のすべてを指す。それは、一般的に作成される一覧表 3の中での単なる数え上げ 2とは異なる。他方、質問調査 4または調査 4は一般に、特定の項目（たとえば労働力）に関する情報を提供することを意図し、限定された目的で行われる作業をいう。実地調査 5は、その情報が個人面接 6によって得られるものをいう。郵送調査 7は、調査票（206-3）を郵便によって送付し、記入された調査票を返送するよう依頼する形で行われる。遡及的調査 8は、過去の人口学的事象に焦点を当てるものであり、また追跡調査 9は、前回の調査の後に発生した人口学的事象を2回目以降の調査で継続して調査するものである。この形式の調査を、面接調査員が数度にわたる訪問を通じて被調査者に会う義務がある場合の用語である再訪問 10と混同してはいけない。センサスにおいては、情報は面接 11か、あるいは自計（自己記入） 12のいずれかによって得ることができる。他計方式（調査員記入方式） 11とも呼ばれる前者の方式では、被調査者によってあるいは被調査者について提供される情報を調査員が調査票に記入するのに対して、自計方式（世帯記入方式） 12とも呼ばれる後者の方式では、調査票は被調査者（204-1）自身によって記入される。自計は、郵送センサス 13の形式をとることもある。
数え上げ
数え上げ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 02:21 UTC 版)
「パーマネント (数学)」の記事における「数え上げ」の解説
多くの数え上げ問題に 0 と 1 のみを成分とする行列のパーマネントを計算することで答えることができる。 Ω(n,k) は n-次 (0, 1)-値の行列で各行各列の成分の和が k に等しいもの全体の成すクラスとする。このクラスに属する任意の行列 A は perm(A) > 0 である:124。射影平面の接続行列は、適当な整数 n > 1 に対するクラス Ω(n2 + n + 1, n + 1) に属する。最小の射影平面に対応するパーマネントは計算されており、n = 2, 3, 4 に対してその値はそれぞれ 24, 3852, 18,534,400 となる:124。n = 2 のときの射影平面（ファノ平面と呼ばれる）の接続行列を Z とすると、特筆すべきことに perm(Z) = 24 = |det(Z)| が成り立っている（右辺は Z の行列式の絶対値の意味である）。これは Z が巡回行列であることと、以下の定理からの帰結である:125。 定理 A がクラス Ω(n,k) に属する巡回行列ならば、k > 3 のとき、perm(A) > |det (A)| であり、k = 3 のとき perm(A) = |det(A)| が成り立つ。さらには、k = 3 のとき、行および列を入れ替えて、A を行列 Z の e 個のコピーの直和の形にすることができて、したがって n = 7e および perm(A) = 24e となる。 位置の制限（禁止）を含む置換の総数の計算にもパーマネント は利用できる。標準 n-元集合 {1, 2, …, n} に対して、A = (aij) を、各 aij は素の置換で i → j と写せるならば 1, さもなくば 0 と定めて得られる (0, 1)-行列とするとき、perm(A) は標準 n-元集合上でこれらの制限をすべて満足する置換の総数に等しい:12。このような例としてよく知られた特別の場合が、完全順列問題（不動点を全く持たない場合）とメナージュの問題（英語版）（problème des ménages: 複数の男女カップルがどの組もパートナー同士が隣り合うことなく円卓に着席する場合の数を求める）である。完全順列の場合、n-元集合において不動点が一つもないような置換の総数は perm ( J − I ) = perm ( 0 1 1 … 1 1 0 1 … 1 1 1 0 … 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 1 … 0 ) = n ! ∑ i = 0 n ( − 1 ) i i ! {\displaystyle \operatorname {perm} (J-I)=\operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}0&1&1&\dots &1\\1&0&1&\dots &1\\1&1&0&\dots &1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&1&\dots &0\end{pmatrix}}=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}} で与えられる。ただし J は全ての成分が 1 の n × n 行列で、I は n-次単位行列である。いっぽう、メナージュ問題の場合の数（メナージュ数（英語版））は perm ( J − I − I ′ ) = perm ( 0 0 1 … 1 1 0 0 … 1 1 1 0 … 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 1 1 … 0 ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k 2 n 2 n − k ( 2 n − k k ) ( n − k ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {perm} (J-I-I')&=\operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}0&0&1&\dots &1\\1&0&0&\dots &1\\1&1&0&\dots &1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&1&\dots &0\end{pmatrix}}\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {2n}{2n-k}}{2n-k \choose k}(n-k)!\end{aligned}}} で与えられる。ただし、I′ は (i, i + 1)-成分および (n, 1)-成分のみが非零であるような (0, 1)-行列とする。
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数え上げ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 14:52 UTC 版)
包除原理の応用として、有限集合 X から Y への全射の数は n ! S ( m , n ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( n − k ) m {\displaystyle n!S(m,n)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(n-k)^{m}} により与えられる。ここで m, n は有限集合 X, Y の濃度であり、S(m, n) は第二種スターリング数である。
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