リー群
リー群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/31 09:19 UTC 版)
すべてのリー群に対し、自然な体積形式を変換により定義することができる。すなわち、ωe を ⋀ n T e ∗ G {\displaystyle \bigwedge ^{n}T_{e}^{*}G} の元とすると、左不変形式が ω g = L g − 1 ∗ ω e {\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e}} により定義される。ここに Lg は左変換である。この系として、すべてのリー群は向き付け可能であることが分かる。リー群の体積形式はスカラー倍を除き一意的であり、対応する測度はハール測度として知られている。
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リー群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)
詳細は「リー群」を参照 リー群は C∞ 多様体であって群でもあり積と逆元を取る演算が多様体の写像として滑らかであるようなものである。これらの対象は対称性の記述において自然に生じる。
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リー群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/27 08:10 UTC 版)
実数体 ℝ 上の線型代数群 G に対して、その実点全体の群 G(ℝ) はリー群である（これは本質的には G 上の乗法を記述する実係数多項式が滑らかな函数であることによる）。同様に複素数体 ℂ 上の線型代数群 G に対して G(C) は複素リー群（英語版）となる。線型代数群の理論の多くは、リー群の理論の類似対応物として展開された。 リー群が必ずしも ℝ 上の線型代数群の構造を持つわけでないことの理由はいくつかある: 成分の群 G/Go（Go は単位成分）が無限群となるリー群 G は線型代数群として実現できない。 ℝ 上の代数群 G は、線型代数群として連結であるにもかかわらず付随するリー群 G(ℝ) が連結でないということが起こり得る。連結の代わりに単連結群としても同様で、例えば代数群 SL(2) は任意の体上で単連結だが、対応するリー群 SL(2,ℝ) は整数の加法群 ℤ に同型な基本群を持つ。SL(2,ℝ) の二重被覆（これをメタプレクティック群（英語版）という）は ℝ 上の線型代数群と見なすことができないリー群である（より強く、H は忠実な有限次元表現を持たないことが言える）。 Anatoly Maltsev（英語版） は任意の単連結冪零リー群が一意的な仕方で ℝ 上の冪単代数群 G と見なせることを示した（代数多様体の場合と同じく、G は ℝ 上適当な次元のアフィン空間に同型である）。これと対照的に、単連結可解リー群で実代数群と見為せないものが存在する。例えば、半直積群 S1 ⋉ ℝ2 の普遍被覆 H は、その中心が ℤ に同型でこれは線型代数群ではないから、したがって H も ℝ 上の線型代数群と見ることはできない。
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リー群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:17 UTC 版)
詳細は「リー群の表現」を参照 リー群は滑らかな多様体でもある群である。実数や複素数上の行列の多くの古典群が、リー群である。物理や化学で重要な群の多くはリー群であり、リー群の表現論はこれらの分野への群論の応用上で決定的である。 リー群の表現論は、最初に、コンパクト表現理論の結果を適用することため、コンパクト群を考えることで発展することができた。この理論は、ワイルのユニタリトリック（英語版）(Weyl's unitary trick)を使い、半単純リー代数の有限次元表現へ拡張できる。半単純な実リー群 G はそれぞれ複素化を持っていて、複素化は複素リー群 Gc であり、最大コンパクト部分群 K を持っている。G の有限次元表現は、K の有限次元表現に密接に対応する。 一般のリー群は、可解リー群（英語版）(solvable Lie group)と半単純リー群の直積である（これをレヴィ分解（英語版）(Levi decomposition)という）。可解リー群の表現の分類は、一般には困難であるが、実践的には容易である場合が多い。半単純の直積の表現は、マッケイ理論（英語版）(Mackey theory)という一般的な結果により解析され、この方法はポアンカレ群の表現のウィグナーの分類(Wigner's classification)を使い一般化されたものである。
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