付値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 03:10 UTC 版)
付値（ふち、英: valuation、賦値、附値とも）とは、単位元 1 を持つ環 R と順序加群 G に対して、以下の3条件を満たす写像 v: R → G ∪ {∞} である。
- ^ 一般に 1 を含む任意の環 R の加法付値に対して、Rv, が定義され、それぞれ R の部分環、Rv のイデアルとなるが、R が体以外の場合、一般には付値環の持つ多くの性質を有しないので、付値環を体上の加法付値の下で定義する。
- ^ 一般に、順序群 G に対して、この様な性質を満たす部分群を孤立部分群という
- ^ この n は加法付値の階数に等しい。
- ^ 文献によっては、値群が Z の部分群となるとき離散付値という場合がある。
- ^ 離散付値ではない加法付値に対する付値環は、ネーター環にはならない。
- ^ 乗法付値のことを単に付値という場合がある。また、加法付値のことを付値、乗法付値のことを絶対値と言う場合もある。
- ^ このことは乗法付値の条件3 と同値である。
- ^ アルキメデス付値 |•| および r ≥ 0 に対して、Rr = {α ∈ K | |α| ≤ r} とおくと、Rr が環になるのは、Rr = {0} の場合に限る。
- ^ 単に「付値」といった場合、加法付値か乗法付値かは問わないものとする。
- ^ しかしながら、C(t) にはアルキメデス付値が存在する。
- ^ 添字の 1, ... , n は単に区別のためのものであり、p-進付値を指しているわけではない。後述の独立性定理、積公式も同じ。
[続きの解説]
付値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/11 05:47 UTC 版)
Kn を、Rn における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。 付値とは、関数 v:Kn → R であって、 v(∅) = 0 かつ、S∪T∈Kn である任意の S,T ∈Kn に対し v ( S ) + v ( T ) = v ( S ∩ T ) + v ( S ∪ T ) {\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~} を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ Kn と Rn の任意の平行移動または回転に対し v(φ(S)) = v(S) が成り立つことをいう。
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