等式
等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/22 08:41 UTC 版)
t-区間 [a, b] 上の二階線型微分方程式系 ( p i ( t ) x i ′ ) ′ + q i ( t ) x i = 0 , x i ( a ) = 1 , x i ′ ( a ) = R i {\displaystyle (p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}\,} の n {\displaystyle n} 個の解を考える。ただし i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n} である。 Δ {\displaystyle \Delta } は前進差分を表す作用素、すなわち Δ x i = x i + 1 − x i {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}} で与えられる作用素とする。二次の差分作用素は、この一次の作用素を Δ 2 ( x i ) = Δ ( Δ x i ) = x i + 2 − 2 x i + 1 + x i {\displaystyle \Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i}} のように繰り返すことで得られ、より高次の差分についても同様に定義される。 以下では簡単のために独立変数 t を省略し、(a, b] 上では x i ( t ) ≠ 0 {\displaystyle x_{i}(t)\neq 0} が成立するものとする。このとき、次の等式が成り立つ： x n − 1 2 Δ n − 1 ( p 1 r 1 ) ] a b = ∫ a b ( x n − 1 ′ ) 2 Δ n − 1 ( p 1 ) − ∫ a b x n − 1 2 Δ n − 1 ( q 1 ) − ∑ k = 0 n − 1 C ( n − 1 , k ) ( − 1 ) n − k − 1 ∫ a b p k + 1 W 2 ( x k + 1 , x n − 1 ) / x k + 1 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}} ここで r i = x i ′ / x i {\displaystyle r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}} は対数微分であり、 W ( x i , x j ) = x i ′ x j − x i x j ′ {\displaystyle W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }} はロンスキアン、 C ( n − 1 , k ) {\displaystyle C(n-1,k)} は二項係数を表す。 n = 2 {\displaystyle n=2} のとき、この等式はピコーンの等式となる。 上の等式は三つの線型微分方程式に対して、ただちに以下の比較定理を導く。これはスツルム＝ピコーンの比較定理の拡張である。 p i , q i , {\displaystyle p_{i},\,q_{i},\,} i = 1, 2, 3 を、区間 [a, b] 上の実数値連続関数とし、 ( p 1 ( t ) x 1 ′ ) ′ + q 1 ( t ) x 1 = 0 , x 1 ( a ) = 1 , x 1 ′ ( a ) = R 1 {\displaystyle (p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}\,} ( p 2 ( t ) x 2 ′ ) ′ + q 2 ( t ) x 2 = 0 , x 2 ( a ) = 1 , x 2 ′ ( a ) = R 2 {\displaystyle (p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}\,} ( p 3 ( t ) x 3 ′ ) ′ + q 3 ( t ) x 3 = 0 , x 3 ( a ) = 1 , x 3 ′ ( a ) = R 3 {\displaystyle (p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}\,} を三つの自己随伴形式の二階同次線型微分方程式とし、 p i ( t ) > 0 {\displaystyle p_{i}(t)>0\,} が各 i および [a, b] 内のすべての t に対して成立するものとし、 R i {\displaystyle R_{i}} は任意の実数とする。 Δ 2 ( q 1 ) ≥ 0 {\displaystyle \Delta ^{2}(q_{1})\geq 0} , Δ 2 ( p 1 ) ≤ 0 {\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1})\leq 0} , Δ 2 ( p 1 ( a ) R 1 ) ≤ 0 {\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0} の成立を仮定する。このとき、[a, b] 上で x 1 ( t ) > 0 {\displaystyle x_{1}(t)>0} であり、 x 2 ( b ) = 0 {\displaystyle x_{2}(b)=0} であるなら、任意の解 x 3 ( t ) {\displaystyle x_{3}(t)} は [a, b] 内に少なくとも一つのゼロ点を持つ。
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等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/30 10:06 UTC 版)
いくつかの等式は定義から直ちに得られる: W ( x e x ) = x ( x ≥ 0 , x = − 1 ) W 0 ( x e x ) = x ( x ≥ − 1 ) W − 1 ( x e x ) = x ( x ≤ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}W(xe^{x})&=x&(x\geq 0,\,x=-1)\\W_{0}(xe^{x})&=x&(x\geq -1)\\W_{-1}(xe^{x})&=x&(x\leq -1)\end{aligned}}} ここで、f(x) = x⋅ex は単射でないから、W(f(x)) = x は常には成り立たないことに注意すべきである。x < 0 かつ x ≠ -1 なる x を固定して、方程式 x⋅ex = y⋅ey は y に関して二つの解を持ち、その一方はもちろん y = x である。もう一方の解は、W0 の場合 x < -1 に、W−1 の場合 x ∈ (-1, 0) にある。これらを踏まえて、次の式を導くことができる。 W 0 ( x e x ) = y ( x < − 1 ) . {\displaystyle W_{0}(xe^{x})=y\quad (x<-1).} W − 1 ( x e x ) = y ( x> − 1 ) . {\displaystyle W_{-1}(xe^{x})=y\quad (x>-1).} W ( x ) e W ( x ) = x . {\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x.} e W ( x ) = x / W ( x ) . {\displaystyle e^{W(x)}=x/W(x).} W ( x ) = ln x − ln W ( x ) ( x ≥ − 1 / e ) . {\displaystyle W(x)=\ln x-\ln W(x)\quad (x\geq -1/e).} ln W ( x ) = ln x − W ( x ) ( x > 0 ) . {\displaystyle \ln W(x)=\ln x-W(x)\quad (x>0).} W ( n x n / W ( x ) n − 1 ) = n W ( x ) ( n > 0 , x > 0 ) . {\displaystyle W(nx^{n}/W(x)^{n-1})=nW(x)\quad (n>0,x>0).} （これは正しく枝を選べば他の n, x に対しても拡張できる） f(ln(x)) を反転すれば W ( x ln x ) = ln x = W ( x ) + ln W ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle W(x\ln x)=\ln x=W(x)+\ln W(x)\quad (x>0)} を得る。 オイラーの反復指数函数 h(x) を用いれば h ( x ) = e − W ( − ln ( x ) ) = W ( − ln ( x ) ) − ln ( x ) ( x ≠ 1 ) {\displaystyle h(x)=e^{-W(-\ln(x))}={\frac {W(-\ln(x))}{-\ln(x)}}\quad (x\neq 1)} を得る。 W を含む有用な積分公式がいくつか存在し、例えば以下のようなものが挙げられる: 一つ目の等式 ∫ 0 π W ( 2 cot 2 ( x ) ) sec 2 ( x ) d x = 4 π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }W(2\cot ^{2}(x))\sec ^{2}(x)dx=4{\sqrt {\pi }}} はガウス積分を極座標で書き表すときに現れる。 ∫ 0 ∞ W ( x ) x x d x = 2 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.} 証明 u = W(x) と置換すれば、 x = u e u , d x d u = ( u + 1 ) e u {\displaystyle x=ue^{u},\quad {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}} で、 ∫ 0 ∞ W ( x ) x x d x = ∫ 0 ∞ u u e u u e u ( u + 1 ) e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u 1 e u d u = ∫ 0 ∞ u 1 2 e − u 2 d u + ∫ 0 ∞ u − 1 2 e − u 2 d u = 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) − 1 2 e − w d w ( u = 2 w ) = 2 2 ∫ 0 ∞ w 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ w − 1 2 e − w d w = 2 2 ⋅ Γ ( 3 2 ) + 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) = 2 2 ( 1 2 π ) + 2 ( π ) = 2 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du\\&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{2}})\\&=2{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})\\&=2{\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}} 三つ目の式 ∫ 0 ∞ W ( 1 x 2 ) d x = 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W({\tfrac {1}{x^{2}}})\,dx={\sqrt {2\pi }}} は、二つ目の式で u = 1/x2 と置き換えることによって得られる。また一つ目の式はこの三つ目の式で z = tan(x)⁄√2 と置くことでも得られる。 分岐切断 (−∞, 1/e] に沿う z を除けば（そのような z では以下の積分が確定しない）、ランベルト W 函数の主枝は、以下の積分 W ( z ) = z 2 π ∫ − π π ( 1 − ν cot ν ) 2 + ν 2 z + ν csc ν e − ν cot ν d ν = z π ∫ 0 π ( 1 − ν cot ν ) 2 + ν 2 z + ν csc ν e − ν cot ν d ν {\displaystyle W(z)={\frac {z}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu ={\frac {z}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu } によって計算できる。この二つの積分の値が等しいことは被積分函数の対称性による。
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