有限アーベル群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 16:08 UTC 版)
数学の殊に代数学において有限アーベル群（ゆうげんアーベルぐん、英: finite abelian group）は、可換かつ有限なる群。ゆえにこれは有限型のアーベル群の特別の場合である。にも拘らず、有限アーベル群の概念には独自の長い歴史と特有の様々な応用（合同算術のような純粋数学的なものも、誤り訂正符号のような工学的なものも含めて）を有する。
注釈
- ^ この一意性はクルル–シュミットの定理からも導くことができる。あるいは、後述する直積の単純化の系としても直截に示せる
- ^ Une démonstration figure dans ce cours sur Wikiversité. Vipul Naik en donne une directe, en supposant seulement que les trois groupes sont finis (non nécessairement abéliens). Une vaste généralisation est due à (en) Bjarni Jónsson (en) および Alfred Tarski, Direct Decompositions of Finite Algebraic Systems, (lire en ligne), th. 3.11 p. 50. Dans le cas des groupes, elle s'exprime par :
Pour tout groupe fini G et tous groupes H et K, G × H ≃ G × K ⇒ H ≃ K.
R. Hirshon (1969). “On cancellation in groups” (英語). Amer. Math. Monthly (9): 1037-1039. JSTOR 317133. donne une preuve rapide de cette implication et montre de plus que la finitude de G est, elle, indispensable, en fournissant un contre-exemple pour G = ℤ, avec même H et K de type fini, mais nécessairement non abéliens puisqu'un autre théorème :
Pour tout groupe abélien de type fini G et tous groupes abéliens H et K, G × H ≃ G × K ⇒ H ≃ K.
avait été démontré par “The complement of a finitely generated direct summand of an abelian group” (英語). Proc. Amer. Math. Soc. (3): 520-521. (1956). et Elbert A. Walker (1956). “Cancellation in direct sums of groups” (英語). Proc. Amer. Math. Soc. (5): 898-902..
- ^ Une démonstration figure dans ce problème corrigé sur Wikiversité.
出典
- ^ Niels Henrik Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré,
- ^ Galois, Évariste (1846). “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux” (フランス語). Journal de mathématiques pures et appliquées (J. Math. Pures Appl.)., texte manuscrit de 1830
- ^ Kronecker, Leopold (1870). “Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen” (ドイツ語). Académie royale des sciences de Prusse (Monatsber. K. Preuss. Akad. Wissenschaft Berlin): 881–889.
- ^ (de) Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra, Braunschweig,
- ^ Kronecker, Leopold (1854). “Mémoire sur les facteurs irréductibles de l'expression xn – 1” (フランス語). J. Math. Pures Appl.. 1 19: 177-192.
- ^ Weber, Heinrich (1886 et 1887). “Theorie der Abel'schen Zahlkörper” (ドイツ語). Acta Mathematica (Acta Math.) VIII et IX.
- ^ Hilbert, David (1896) (ドイツ語). Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper. Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen.
- ^ Frobenius; Stickelberger (1879). “Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen” (ドイツ語). J. reine angew. Math.: 217-262..
- ^ Suite A000688 de l'OEIS.
- ^ Jean-Jacques Risler および Pascal Boyer, Algèbre pour la Licence 3 : Groupes, anneaux, corps, Dunod, (lire en ligne), p. 45.
- 1 有限アーベル群とは
- 2 有限アーベル群の概要
- 3 関連項目
有限アーベル群
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詳細は「有限アーベル群」を参照 整数全体のなす加法群の法 n に関する剰余類の成す巡回群 Z/nZ は有限アーベル群のもっとも単純な例として挙げることができるが、逆に任意の有限アーベル群は適当な素数冪に対するこの形の有限巡回群の直和に同型であり、そのときそれら直和因子の位数は全体として一意に決定され、与えられた有限アーベル群の不変系 (complete system of invariants) と呼ばれる。有限アーベル群の自己同型群はその不変系によって直接的に記述することができる。有限アーベル群の理論はフロベニウスとシュティッケルベルガー（英語版）の1879年の論文に始まり、のちに整理され主イデアル整域上の有限生成加群にまで一般化されて、線型代数学の重要な章を成すものとなった（単因子論）。 素数位数の任意の群は巡回群に同型であり、ゆえにアーベル群である。また、位数が素数の平方であるような任意の群はアーベル群となる。実は任意の素数 p に対して位数 p2 の群は、同型を除いて Z/p2Z と Z/pZ × Z/pZ のちょうど二種類しかない。 有限アーベル群の基本定理 任意の有限アーベル群 G は素冪位数の巡回群の直和に表される。 これは有限生成アーベル群の基本定理の特別の場合（階数 0 の場合）である。位数 mn の巡回群 Z/mnZ が Z/mZ と Z/nZ の直和に同型となるための必要十分条件は m と n が互いに素となることである（中国の剰余定理）。これにより任意の有限アーベル群 G が ⨁ i = 1 u Z / k i Z {\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\mathbf {Z} /k_{i}\mathbf {Z} } なるかたちの直和に同型となることが従うが、位数 ki に関しては標準的に二種類： 各数 k1, …, ku はそれぞれ適当な素数の冪である k1 は k2 を割り切り、k2 は k3 を割り切り、… ku−1 は ku を割り切る の仮定のうちの何れかを課すことで一意に定まる。
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