基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/25 23:23 UTC 版)
群の直和は可換である。つまり、ふたつの部分群の直和の場合には、 G = H + K = K + H G = H + (L + M) = (H + L) + M である。 G = H + K であれば、次のことが証明できる： すべての h ∈ H, k ∈ K に対して、h*k = k*h である。 すべての g ∈ G に対して、g = h*k となるような唯一の h ∈ H, k ∈ K が存在する。 商において和の簡約がある。つまり (H + K)/K は H と同型である。 上記の主張は G = ∑Hi の場合にも一般化できる、ただし {Hi} は部分群の有限集合。 i ≠ j であれば、すべての hi ∈ Hi, hj ∈ Hj に対して、hi * hj = hj * hi である。 各 g ∈ G に対して、{hi in Hi} の唯一の集合が存在して g = h1*h2* ... * hi * ... * hn 商において和の簡約がある。つまり ((∑Hi) + K)/K は ∑Hi に同型である。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/17 02:57 UTC 版)
エルミート対称性に注意すれば、任意の x に対して ⟨ x , x ⟩ = ⟨ x , x ⟩ ¯ {\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}} ゆえ、これは実数値である。さらに半双線型性により ⟨ − x , x ⟩ = − 1 ⟨ x , x ⟩ = − 1 ¯ ⟨ x , x ⟩ = ⟨ x , − x ⟩ {\displaystyle \langle -x,x\rangle =-1\langle x,x\rangle ={\overline {-1}}\langle x,x\rangle =\langle x,-x\rangle } が成り立つ。 線型性により、「x = 0 ならば ⟨x, x⟩ = 0」が成り立ち、また非退化性はその逆「⟨x, x⟩ = 0 ならば x = 0」を言うものであるから、これらを合わせて、⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0 を得る。 内積の半双線型性を用いれば、平方展開 ⟨ x + y , x + y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + 2 ℜ ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\langle x,x\rangle +2\Re \langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle } が成り立ち、特に係数体が ℝ の場合には内積は対称だから、 ⟨ x ± y , x ± y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ ± 2 ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \langle x\pm y,x\pm y\rangle =\langle x,x\rangle \pm 2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle } を得る。また線型性においてスカラーについて特に考えないとき ⟨ x + y , z ⟩ = ⟨ x , z ⟩ + ⟨ y , z ⟩ , ⟨ x , y + z ⟩ = ⟨ x , y ⟩ + ⟨ x , z ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\langle x+y,z\rangle &=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle ,\\\langle x,y+z\rangle &=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \end{aligned}}} が成り立つが、これは分配性あるいは加法性（双加法性）とも呼ばれる。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/18 04:29 UTC 版)
環 R が乗法単位元 1 = 1R を持つとき（群 G の単位元は 1 = 1G と書くことにする）、群環 R[G] は R に環同型な部分環を持ち、またその単元群は G に群同型な部分群を含む。実際、 R → R [ G ] ; r ↦ r ⋅ 1 G ( or r ↦ r δ 1 G ) {\displaystyle R\to R[G];r\mapsto r\cdot 1_{G}\quad ({\text{or }}r\mapsto r\delta _{1_{G}})} は単射環準同型であり、同様に G → ( R [ G ] ) × ; g ↦ 1 R ⋅ g ( or g ↦ δ g ) {\displaystyle G\to (R[G])^{\times };\;g\mapsto 1_{R}\cdot g\quad ({\text{or }}g\mapsto \delta _{g})} は乗法群に関する単射群準同型になる。特に、1R⋅1G は R[G] の乗法単位元である。 R が可換環であり、かつ G がアーベル群であるとき、群環 R[G] は可換多元環である。 H が G の部分群ならば、群環 R[H] は R[G] の部分環である。同様に、S が R の部分環であるとき、群環 S[G] は R[G] の部分環である。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/25 08:44 UTC 版)
任意の巡回群はアーベル群である。 有限アーベル群の任意の部分群はまた有限アーベル群である。 有限アーベル群の任意の剰余群はまた有限アーベル群である。 有限アーベル群からなる任意の有限族の直積群はまた有限アーベル群である。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 05:20 UTC 版)
既に述べたように、通常の四則演算のもと、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる体を成す。また、有理整数環 Z の商体である。加えて、有理数体 Q は標数 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の素体と呼ばれる（すなわち、標数が 0 であるような任意の体は、必ず Q に同型な部分体を含む）。Q の拡大体は一般に代数体、その元は代数的数と呼ばれ、特に代数的数の全体は体を成し Q の代数閉包 A（Q とも書く）となる。 Q は可算無限集合である（これはたとえば、分母と分子の組を二次元平面上の格子点と考え、うずまき状に辿って自然数と対応付ければよい）。実数全体 R は非可算なので、濃度の意味で（あるいはルベーグ測度の意味で）ほとんどの実数は無理数であることになる（可算性により Q のルベーグ測度は 0 となる）。 Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:03 UTC 版)
指数関数を偶関数の部分と奇関数の部分に分けた時、 e x = cosh x + sinh x e − x = cosh x − sinh x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\cosh x+\sinh x\\e^{-x}&=\cosh x-\sinh x\end{aligned}}} となり、偶関数部分が cosh x で、奇関数部分が sinh x であることが分かる。また (cosh x, sinh x) は、双曲線 x2 − y2 = 1 上の点であり cosh 2 x − sinh 2 x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1} が成り立つ。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
可積分関数 f(x), g(x), h(x) が与えられたとき、これらのフーリエ変換をそれぞれ ^f(ξ), ^g(ξ), ^h(ξ)で表す。フーリエ変換は以下の基本性質を満たす。 線型性 任意の複素数 a, b について h(x) = aƒ(x) + bg(x) であるならば h ^ ( ξ ) = a ⋅ f ^ ( ξ ) + b ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )} が成り立つ。 平行移動 任意の実数 x0 に対して h(x) = ƒ(x − x0) であるならば h ^ ( ξ ) = e − 2 π i x 0 ξ f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=e^{-2\pi ix_{0}\xi }{\hat {f}}(\xi )} が成り立つ。 変調 任意の実数 ξ0 に対して h(x) = e2πixξ0ƒ(x) ならば h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ − ξ 0 ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi -\xi _{0})} が成り立つ。 定数倍 非零実数 a に対し、h(x) = ƒ(ax) ならば h ^ ( ξ ) = 1 | a | f ^ ( ξ a ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}{\Big (}{\frac {\xi }{a}}{\Big )}} が成り立つ。a = −1 つまり h(x) = ƒ(−x) の場合には、時間反転性 (time-reversal property) h ^ ( ξ ) = f ^ ( − ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(-\xi )} が導かれる。 複素共役 f(x) の複素共役 f(x) について f ¯ ^ ( ξ ) = f ^ ( − ξ ) ¯ {\displaystyle {\hat {\overline {f}}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}} が成り立つ。 畳み込み h(x) = (f ∗ g)(x) ならば h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi )} が成り立つ。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:21 UTC 版)
ローレンツ変換はミンコフスキー時空上の原点を不動点とする等長変換であり、ローレンツ群は、等長変換全体が成すポアンカレ群の部分群であるといえる。したがって、ローレンツ群はミンコフスキー時空上の等長変換群の等方的部分群である。この理由から、ローレンツ群は同次ローレンツ群 (homogeneous Lorentz group)と呼ばれることがあり、対してポアンカレ群は非同次ローレンツ群 (inhomogeneous Lorentz group) と呼ばれることがある。ローレンツ変換は線形変換あるのに対して、ミンコフスキー時空上の一般の等長変換はアフィン変換である。 数学的には、ローレンツ群は一般化直交群（英語版） O(1, 3)、すなわち R4 上の二次形式 ( t , x , y , z ) ↦ t 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} を不変に保つ行列リー群として記述できる。この二次形式は、行列形式に直すと（古典直交群（英語版）を参照）、物理的にはミンコフスキー時空の計量テンソルであると理解される。 ローレンツ群は、六次元の連結でなくコンパクトでない非可換（英語版）実リー群である。その四つの連結成分は単連結ではない。ローレンツ群の単位元成分（英語版）（つまり単位元を含む成分）はそれ自身群を成し、しばしば制限ローレンツ群 (restricted Lorentz group) と呼ばれ、 SO+(1, 3) と表記される。制限ローレンツ群は空間の向きと時間の方向を保存するローレンツ変換から成る。制限ローレンツ群はしばしば複四元数（英語版）代数を用いて表される。 制限ローレンツ群は別の、純粋数学的方法からも生じる。例えば、特定の常微分方程式の対称点群から生じる。このことは物理的重要性も持つ。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/06/21 08:27 UTC 版)
粘性解の三つの基本性質は、「存在」、「一意性」および「安定性」である。 解の「一意性」が成立するためには、方程式に他の構造的な仮定が課される必要がある。しかし、退化楕円型方程式のとても広いクラスに対して、一意性は示される。それは「比較原理」の直接的な帰結である。比較原理が成立する簡単な例として、次が挙げられる： かつ H は x について一様連続。 （一様楕円型の場合） が成立し、したがって はすべての変数に関してリプシッツ。また、すべての および に対して、 が成り立つようなある が存在する。 解の「存在」は、比較原理が成り立ち、かつ境界条件がある方法で強いられる（ディリクレ境界条件の場合には障壁函数を通して）すべての場合において、保証される。一階の方程式に対しては、粘性消滅法によって解の存在は示され、その他ほとんどの方程式に対しては、ペロンの方法によって示される。 における解の「安定性」は次のように従う：解（あるいは劣解または優解）の列の局所一様極限は、解（あるいは劣解または優解）である。
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基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 01:06 UTC 版)
以下 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は集合環であるものとして、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は空集合を含む。実際、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} の空でない任意の元 A をとれば、差に関して閉じていることから、A ∖ A と書ける。 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は対称差に関して閉じている。実際、対称差は A Δ B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) と書ける。 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は交叉に関して閉じている。実際、A ∩ B = (A ∪ B) ∖ (A Δ B) と書ける。 有限加法族は集合環である（実際、Ec は集合 E の補集合として、A ∖ B = (Ac ∪ B)c が成り立つ）が、集合環は必ずしも集合代数でない。例えば、単純な例として {∅} を考えればよい。 X 上の集合環が有限加法族であるための必要十分条件は、全体集合 X 自身がその集合環に属することである。
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