代数的数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/05 15:32 UTC 版)
代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、整数係数）の 0 でない一変数多項式の根（すなわち多項式の値が 0 になる値）となるものをいう。全ての有理数と、その整数冪根は代数的数である。実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。例えば π や e は超越数である。ほとんどすべての複素数は超越数である（#集合論的性質）。
- ^ Niven 2005, pp. 29f.
- ^ 無理数度が 2 以上であること自体は、ディリクレの部屋割り論法からでも証明可能である。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Irrationality Measure” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月5日閲覧。
[続きの解説]
代数的数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 01:43 UTC 版)
左辺の多項式の係数体を K とすると、その代数方程式は、一般には K の中で解けないが、代数方程式が 1 つ与えられたとき、その根を含むような K の拡大体 L の存在が示せる。さらに、K の代数的閉包が同型の違いを除いて一意的に存在する。代数的閉包 K∧ を一つ固定しておく。K∧ の元 x が、ある K 係数の代数方程式の根となるとき、x は K 上代数的であるという（詳しくは体論に譲る）。特に、複素数 z が有理数体 Q 上代数的ならば、z は代数的数であるという。
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