既約多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/25 09:13 UTC 版)
代数学において既約多項式（きやくたこうしき、英: irreducible polynomial）とは、多項式環の既約元[注 1]のことである。
注釈
出典
- ^ 永田 1995, 定理 8.1.11.
- ^ van der Waerden 2003, Exercise 18.11.
- ^ Sunil K. Chebolu, Jan Minac (2011), Counting irreducible polynomials over finite fields using the inclusion-exclusion principle
- 1 既約多項式とは
- 2 既約多項式の概要
- 3 脚注
既約多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 08:21 UTC 版)
φ 2 = φ + 1 {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1} すなわち、黄金数 φ の有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上の既約多項式は x2 − x − 1 である。 φ は無理数であり、 φ = 1 + 5 2 = 1.6180339887 ⋯ {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\cdots } φ − 1 = φ − 1 = − 1 + 5 2 = 0.6180339887 ⋯ {\displaystyle \varphi ^{-1}=\varphi -1={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}=0.6180339887\cdots } 黄金長方形では、(長辺 - 短辺) : 短辺 = 短辺 : 長辺 が成り立つことを表した図。 黄金長方形から最大正方形を切り取っていった図（残った長方形も黄金長方形になる）。 黄金数 φ について、φ(φ − 1) = 1 を、面積で表した図。青線が、縦横の長さ 1, φ の黄金長方形2個を表し、右上の赤網目部分が φ(φ − 1)、左下の赤網目部分が 1 を表す。 黄金数 φ について、φ(φ − 1) = 1 を、面積で表した図。縦横の長さが 1, φ の黄金長方形（青線）において、斜線部分が等積となる。また、赤網目部分は √5φ = 1 + φ2 を表している。
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既約多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 07:27 UTC 版)
代数的数 α を根とする 0 でない有理数係数多項式のうち、次数が最小で、最高次の係数が 1 であるものを、α の既約多項式 (irreducible polynomial) という。最小多項式は、有理係数多項式上既約多項式である。 代数的数 α の最小多項式の次数を、α の次数 (degree) といい、deg α で表す。次数が n であるとき、α は n 次の代数的数であるという。たとえば、有理数は 1 次の代数的数ということができる。また 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は、2 次の代数的数である。
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