近傍 (位相空間論)
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/26 08:29 UTC 版)
数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、英: neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。
- 1 近傍 (位相空間論)とは
- 2 近傍 (位相空間論)の概要
- 3 近傍系の定める位相
- 4 一様近傍
- 5 参考文献
開近傍
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:22 UTC 版)
位相体は加法および乗法で連続であることから、任意の空ではない開集合 U と K の点 a に対して、U + a は a の開近傍となる。また、0 でない K の元 a に対する aU および、U−1 は開集合となる。 このことから、位相体を 0 の基本近傍系を用いて定義することができる。つまり、体 K が位相体になるためには、K 上の 0 の基本近傍系を U {\displaystyle {\mathcal {U}}} としたとき、以下の条件を全て満たすことが必要十分である。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元 U に対して、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の元 V が存在して、V + V ⊂ U。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元 U に対して、 − U ∈ U {\displaystyle -U\in {\mathcal {U}}} 。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元 U に対して、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の元 V が存在して、 V ⋅ V ⊂ U {\displaystyle V\cdot V\subset U} 。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元 U に対して、 ( 1 + U ) − 1 ∈ 1 + U {\displaystyle (1+U)^{-1}\in 1+{\mathcal {U}}} 。 K の 0 でない任意の元 a および U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元 U に対して、 a U a − 1 ∈ U {\displaystyle aUa^{-1}\in {\mathcal {U}}} 。 上記の条件のうち、1 と 2 は加法群 K が位相群になるための条件であり、3, 4, 5 は乗法群 K× が位相群になるための条件である。
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