ハミルトニアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:38 UTC 版)
ハミルトニアン（英: Hamiltonian）あるいはハミルトン関数、特性関数（とくせいかんすう）は、物理学におけるエネルギーに対応する物理量である。各物理系の持つ多くの性質は、ハミルトニアンによって特徴づけられる。名称はイギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。
ハミルトニアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/11 21:52 UTC 版)
「ボゴリューボフ変換」の記事における「ハミルトニアン」の解説
ボゴリューボフ変換された状態を基底状態に持つハミルトニアンは、以下のように作ることができる。 H ^ new = U θ H ^ U θ † {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{new}}=U_{\theta }{\hat {H}}U_{\theta }^{\dagger }} このハミルトニアンは、全粒子数演算子 N ^ ≡ ∑ i = 1 , 2 a ^ i † a ^ i {\displaystyle {\hat {N}}\equiv \sum _{i=1,2}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}} とは可換ではない。つまりこのハミルトニアンで時間発展する系は、全粒子数を保存していない。
※この「ハミルトニアン」の解説は、「ボゴリューボフ変換」の解説の一部です。
「ハミルトニアン」を含む「ボゴリューボフ変換」の記事については、「ボゴリューボフ変換」の概要を参照ください。
ハミルトニアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/17 17:34 UTC 版)
2状態系のハミルトニアンは2次元複素ヒルベルト空間のエルミート作用素であり、基底の選択の下、状態ベクトルに2×2行列として作用する。基底として完全正規直交基底 |1⟩, |2⟩ を取れば、ハミルトニアンは H ^ = H 11 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + H 12 | 1 ⟩ ⟨ 2 | + H 21 | 2 ⟩ ⟨ 1 | + H 22 | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {H}}=H_{11}|1\rangle \langle 1|+H_{12}|1\rangle \langle 2|+H_{21}|2\rangle \langle 1|+H_{22}|2\rangle \langle 2|} の形で表すことができる。このとき、ハミルトニアンの行列要素 Hαβ は基底の正規直交性より H α β = ⟨ α | H ^ | β ⟩ ( α , β = 1 , 2 ) {\displaystyle H_{\alpha \beta }=\langle \alpha |{\hat {H}}|\beta \rangle \quad (\alpha ,\beta =1,2)} と書ける。また、ハミルトニアンのエルミート性から対角成分の実数条件 H 11 = H 11 ∗ , H 22 = H 22 ∗ {\displaystyle H_{11}=H_{11}^{*},\,H_{22}=H_{22}^{*}} 及び非対角成分の条件 H 12 = H 21 ∗ {\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}} が要請される。ここで、a* は a の複素共軛を表わす。 ハミルトニアン ^H の固有値 EI, EII に対応する固有ベクトルをそれぞれ |I⟩, |II⟩ とする。 H ^ | I ⟩ = E I | I ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\mathrm {I} \rangle =E_{\mathrm {I} }|\mathrm {I} \rangle } H ^ | I I ⟩ = E I I | I I ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\mathrm {II} \rangle =E_{\mathrm {II} }|\mathrm {II} \rangle } このとき、補助変数 θ, φ を tan θ = 2 | H 12 | H 11 − H 22 ( 0 ≤ θ < π ) {\displaystyle \tan {\theta }={\frac {2|H_{12}|}{H_{11}-H_{22}}}\quad (0\leq \theta <\pi )} H 21 = | H 21 | e i ϕ ( 0 ≤ ϕ < 2 π ) {\displaystyle H_{21}=|H_{21}|e^{i\phi }\quad (0\leq \phi <2\pi )} として、 E I = 1 2 ( H 11 + H 22 ) + 1 2 ( H 11 − H 22 ) 2 + 4 | H 12 | 2 {\displaystyle E_{I}={\frac {1}{2}}(H_{11}+H_{22})+{\frac {1}{2}}{\sqrt {(H_{11}-H_{22})^{2}+4|H_{12}|^{2}}}} E I I = 1 2 ( H 11 + H 22 ) − 1 2 ( H 11 − H 22 ) 2 + 4 | H 12 | 2 {\displaystyle E_{II}={\frac {1}{2}}(H_{11}+H_{22})-{\frac {1}{2}}{\sqrt {(H_{11}-H_{22})^{2}+4|H_{12}|^{2}}}} | I ⟩ = cos θ 2 e − i ϕ / 2 | 1 ⟩ + sin θ 2 e i ϕ / 2 | 2 ⟩ {\displaystyle |\mathrm {I} \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i\phi /2}|1\rangle +\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i\phi /2}|2\rangle } | I I ⟩ = − sin θ 2 e − i ϕ / 2 | 1 ⟩ + cos θ 2 e i ϕ / 2 | 2 ⟩ {\displaystyle |\mathrm {II} \rangle =-\sin {\frac {\theta }{2}}e^{-i\phi /2}|1\rangle +\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i\phi /2}|2\rangle } と求めることができる。|1⟩, |2⟩ と 上記の |I⟩, |II⟩ はユニタリ変換で結ばれており、 |I⟩, |II⟩ も正規直交性 ⟨ a | b ⟩ = δ a b ( a , b = I , I I ) {\displaystyle \langle a|b\rangle =\delta _{ab}\quad (a,b=\mathrm {I} ,\mathrm {II} )} と完全性 | I ⟩ ⟨ I | + | I I ⟩ ⟨ I I | = I ^ {\displaystyle |\mathrm {I} \rangle \langle \mathrm {I} |+|\mathrm {II} \rangle \langle \mathrm {II} |={\hat {I}}} の条件を満たす基底である。また、|I⟩, |II⟩ は次の形で ^H のスペクトル分解を与える。 H ^ = E I | I ⟩ ⟨ I | + E I I | I I ⟩ ⟨ I I | {\displaystyle {\hat {H}}=E_{\mathrm {I} }|\mathrm {I} \rangle \langle \mathrm {I} |+E_{\mathrm {II} }|\mathrm {II} \rangle \langle \mathrm {II} |}
※この「ハミルトニアン」の解説は、「2状態系」の解説の一部です。
「ハミルトニアン」を含む「2状態系」の記事については、「2状態系」の概要を参照ください。
ハミルトニアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:10 UTC 版)
ラシュバ効果はラシュバハミルトニアンと呼ばれる単純なハミルトニアンのモデルで最も容易に見ることができる。 H R = α ( σ × p ) ⋅ z ^ {\displaystyle H_{\rm {R}}=\alpha ({\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} )\cdot {\hat {z}}} , ここで α {\displaystyle \alpha } はラシュバパラメータ、 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} は運動量、 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} はパウリ行列を並べたベクトル（ストークスベクトル）である。これは単に2次元の場合の（スピンを90度回転させた）ディラックハミルトニアンに過ぎない。 固体中のラシュバモデルはk·p摂動論の枠組みの中で、または強結合近似の視点から導出される。しかしながら、これらの方法の詳細は退屈であると見なされ、定性的に同じ物理を提供する直観的なトイモデルによる説明がよくなされる（定量的には α {\displaystyle \alpha } の評価が不十分である）。 ここでこの直観的なトイモデルによる説明を行い、その後により正確な導出を行う。
※この「ハミルトニアン」の解説は、「ラシュバ効果」の解説の一部です。
「ハミルトニアン」を含む「ラシュバ効果」の記事については、「ラシュバ効果」の概要を参照ください。
ハミルトニアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/23 16:24 UTC 版)
電子系のハミルトニアンが H ( e ) = ∑ i ( p i 2 2 m + V L ( r i ) ) − ∑ i ≠ j e 2 | r i − r j | + E I {\displaystyle H^{(e)}=\sum _{i}\left({\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}}{2m}}+V_{L}(\mathbf {r} _{i})\right)-\sum _{i\neq {}j}{\frac {e^{2}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}+E_{I}} で与えられるときを考える。ここで、 V L ( r i ) {\textstyle V_{L}(\mathbf {r} _{i})} は格子ポテンシャルで、 E I {\displaystyle E_{I}} はイオンの背景電荷によるエネルギーである。これらは V L ( r i ) := − ∑ λ Z λ e 2 | r i − R λ | , E I := ∑ λ ≠ λ ′ Z λ Z λ ′ e 2 | R λ − R λ ′ | {\displaystyle V_{L}(\mathbf {r} _{i}):=-\sum _{\lambda }{\frac {Z_{\lambda }e^{2}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} _{\lambda }|}},\ E_{I}:=\sum _{\lambda \neq {}\lambda '}{\frac {Z_{\lambda }Z_{\lambda '}e^{2}}{|\mathbf {R} _{\lambda }-\mathbf {R} _{\lambda '}|}}} で定義される。ここで r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} は i {\displaystyle i} 番目の電子の位置、 R λ {\displaystyle \mathbf {R} _{\lambda }} は λ {\displaystyle \lambda } 番目のイオンの位置、 m {\displaystyle m} は電子の電荷、 Z λ {\displaystyle Z_{\lambda }} はイオンの価数を表す。ジェリウムモデルでは、格子ポテンシャルを連続体近似して、 V L ( r ) = − ∑ λ Z λ e 2 | r − R λ | ≃ − ∫ d 3 R Z e 2 n I | r − R | = − n ∫ d 3 R e 2 | r − R | {\displaystyle V_{L}(\mathbf {r} )=-\sum _{\lambda }{\frac {Z_{\lambda }e^{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\lambda }|}}\simeq -\int {}d^{3}R{\frac {Ze^{2}n_{I}}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}=-n\int {}d^{3}R{\frac {e^{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}} E I = ∑ λ ≠ λ ′ Z λ Z λ ′ e 2 | R λ − R λ ′ | ≃ ∬ d 3 R d 3 R ′ Z 2 e 2 n I 2 | R − R ′ | = n 2 ∬ d 3 R d 3 R ′ e 2 | R − R ′ | . {\displaystyle E_{I}=\sum _{\lambda \neq {}\lambda '}{\frac {Z_{\lambda }Z_{\lambda '}e^{2}}{|\mathbf {R} _{\lambda }-\mathbf {R} _{\lambda '}|}}\simeq \iint {}d^{3}Rd^{3}R'{\frac {Z^{2}e^{2}n_{I}^{2}}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}=n^{2}\iint {}d^{3}Rd^{3}R'{\frac {e^{2}}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}.} とする。ここで n {\displaystyle n} は電子密度、 n I {\textstyle n_{I}} はイオン密度である。
※この「ハミルトニアン」の解説は、「ジェリウムモデル」の解説の一部です。
「ハミルトニアン」を含む「ジェリウムモデル」の記事については、「ジェリウムモデル」の概要を参照ください。
ハミルトニアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/23 16:10 UTC 版)
この模型における電子系のハミルトニアンは次のように表される。 H = 1 2 m ∑ i = 1 N p i 2 + 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 , j ≠ i N e 2 | r i − r j | − U 0 {\displaystyle H={1 \over {2m}}\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{2}+{1 \over 2}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1,j\neq i}^{N}{e^{2} \over {|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}|}}-U_{0}} ここでmは電子の質量、Nは電子の数である。また右辺第1項は運動エネルギー項、第2項は電子同士のクーロン相互作用項、第3項は一様な正電荷のポテンシャルエネルギーである。ここで第2項は発散項を含むが、第3項も発散項でありこれと打ち消し合う。 また第2項であるクーロン項を無視したものを特に自由電子ガス模型と言う。この時、第3項は系の全電荷が中性となる必要があり残る。 上記ハミルトニアンを、フーリエ変換により逆空間表示すると、 H = − ℏ 2 2 m ∑ i = 1 N Δ i + 1 2 ∑ k ≠ 0 4 π e 2 Ω k 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 , j ≠ i N e i k ⋅ ( r i − r j ) {\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i=1}^{N}\Delta _{i}+{1 \over 2}\sum _{{\boldsymbol {k}}\neq 0}{4\pi e^{2} \over {\Omega k^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1,j\neq i}^{N}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot ({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})}} となる。Ωは系の体積。上式右辺第2項のkの和で、除外しているk = 0の項が発散項で、U0と打ち消し合っている。これは、逆空間でゼロ(k = 0)ということは、実空間では無限大のことであり、電子の電荷が空間全体に一様に分布していることに相当する。これが正の電荷の一様分布部分、U0と相殺する。
※この「ハミルトニアン」の解説は、「電子ガス」の解説の一部です。
「ハミルトニアン」を含む「電子ガス」の記事については、「電子ガス」の概要を参照ください。
- ハミルトニアンのページへのリンク
